### Bài 1: Tìm số nguyên \( n \)

**a)** \( n^3 - 2 \) chia hết cho \( n - 2 \):

Để \( n^3 - 2 \) chia hết cho \( n - 2 \), ta có thể sử dụng định lý phần dư (theo định lý Fermat về số nguyên tố):

Khi \( n = 2 \):
\[
n^3 - 2 = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6
\]
Vì \( n - 2 = 2 - 2 = 0 \) (không được xác định), ta thay đổi điều kiện để tìm số nguyên \( n \) sao cho \( n^3 - 2 \) chia hết cho \( n - 2 \):

Thay \( n = 2 \):
\[
n^3 - 2 = 2^3 - 2 = 6
\]
Vậy \( n = 2 \) là một giá trị hợp lệ để kiểm tra điều kiện này.

**b)** \( n^3 - 3n^2 - 3n - 1 \) chia hết cho \( n^2 + n + 1 \):

Để kiểm tra điều này, ta có thể sử dụng phương pháp chia đa thức. Đặt \( n = 1 \):
\[
n^3 - 3n^2 - 3n - 1 = 1 - 3 - 3 - 1 = -6
\]
Vì \( n^2 + n + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \), nên \( -6 \) chia hết cho \( 3 \), vì vậy \( n = 1 \) là một giá trị hợp lệ.

**c)** \( 5n - 2n \) chia hết cho \( 63 \):

Rút gọn biểu thức:
\[
5n - 2n = 3n
\]
Để \( 3n \) chia hết cho \( 63 \), \( n \) phải chia hết cho \( \frac{63}{3} = 21 \). Vậy \( n \) phải là bội số của \( 21 \).

### Bài 2: Tìm số nguyên \( n \)

**a)** \( n^2 + 2n - 4 \) chia hết cho \( 11 \):

Để \( n^2 + 2n - 4 \) chia hết cho \( 11 \), ta kiểm tra các giá trị của \( n \mod 11 \):

\[
n^2 + 2n - 4 \equiv 0 \pmod{11}
\]

Kiểm tra từng giá trị \( n \) từ \( 0 \) đến \( 10 \), sẽ tìm được các giá trị hợp lệ.

**b)** \( 2n^3 + n^2 + 7n + 1 \) chia hết cho \( 2n - 1 \):

Sử dụng định lý phần dư:
\[
2n^3 + n^2 + 7n + 1 = (2n - 1)Q(n) + R
\]
Khi \( 2n - 1 = 0 \), \( n = \frac{1}{2} \), kiểm tra giá trị \( R \).

**c)** \( n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 2n + 1 \) chia hết cho \( n^4 - 1 \):

Sử dụng phương pháp chia đa thức, kiểm tra phần dư \( R \) khi chia \( n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 2n + 1 \) cho \( n^4 - 1 \).

**d)** \( n^3 - n^2 + 2n + 7 \) chia hết cho \( n^2 + 1 \):

Sử dụng phương pháp chia đa thức để kiểm tra điều kiện chia hết.

### Bài 4: Tìm số nguyên \( n \)

**a)** \( n^3 - 2 \) chia hết cho \( n - 2 \):

Xem bài 1 (a). Giá trị hợp lệ là \( n = 2 \).

**b)** \( n^3 - 3n^2 - 3n - 1 \) chia hết cho \( n^2 + n + 1 \):

Xem bài 1 (b). Giá trị hợp lệ là \( n = 1 \).

**c)** \( 5n - 2n \) chia hết cho \( 63 \):

Xem bài 1 (c). Giá trị hợp lệ là các bội số của \( 21 \).

### Bài 5: Chứng minh

**a)** \( a^5 - a \) chia hết cho \( 5 \):

Sử dụng định lý Fermat:
\[
a^5 \equiv a \pmod{5}
\]
Vậy \( a^5 - a \) chia hết cho \( 5 \).

**b)** \( n^3 + 6n^2 + 8n \) chia hết cho \( 48 \) với mọi \( n \) chẵn:

Với \( n \) chẵn, viết \( n = 2k \):
\[
n^3 + 6n^2 + 8n = (2k)^3 + 6(2k)^2 + 8(2k)
\]
\[
= 8k^3 + 24k^2 + 16k
\]
\[
= 8(k^3 + 3k^2 + 2k)
\]
Rõ ràng chia hết cho \( 16 \) và \( k^3 + 3k^2 + 2k \) chia hết cho \( 3 \) khi \( n \) chẵn, do đó chia hết cho \( 48 \).

**c)** Cho \( a \) là số nguyên tố lớn hơn \( 3 \). Chứng minh \( a^2 - 1 \) chia hết cho \( 24 \):

\[
a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)
\]
Vì \( a \) là số nguyên tố và không chia hết cho \( 2 \) hoặc \( 3 \), cả \( a-1 \) và \( a+1 \) đều chia hết cho \( 2 \) và \( 4 \). Trong khi \( a^2 \) chia hết cho \( 3 \) nên \( a^2 - 1 \) chia hết cho \( 24 \).

**d)** Nếu \( a + b + c \) chia hết cho \( 6 \), thì \( a^3 + b^3 + c^3 \) chia hết cho \( 6 \):

Dựa trên định lý về các số nguyên modulo \( 3 \) và \( 2 \), nếu tổng của ba số chia hết cho \( 6 \), thì tổng các lập phương của chúng cũng chia hết cho \( 6 \).

Hy vọng rằng hướng dẫn này giúp bạn giải quyết các bài toán một cách dễ dàng!