### a) Chứng minh \(ADME\) là hình chữ nhật

Để chứng minh \(ADME\) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai điều:
1. \(AD \perp AM\)
2. \(DE \parallel AM\) và \(AD = DE\)

**Chứng minh:**

- \(D\) là trung điểm của \(AB\) và \(E\) là trung điểm của \(AC\).
- \(M\) là trung điểm của \(BC\). Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), nên đường trung tuyến \(AM\) vuông góc với cạnh \(BC\) (tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Do đó, ta có:
1. \(AD\) là đường vuông góc với \(AM\) (vì \(D\) là trung điểm và \(A\) là đỉnh của tam giác vuông tại \(A\)).
2. \(DE\) song song với \(AM\) (vì \(D\) và \(E\) là trung điểm).

Ta cũng có \(AD = DE\) (vì \(D\) và \(E\) là trung điểm).

Kết luận, \(ADME\) là một hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác \(AKME\) là hình bình hành

Để chứng minh \(AKME\) là hình bình hành, ta cần chứng minh:
- Các cặp cạnh đối diện bằng nhau, tức là \(AK = ME\) và \(AM = KE\), hoặc các góc đối diện bằng nhau.

**Chứng minh:**

- \(M\) là trung điểm của \(BC\), và \(K\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(D\). Do đó \(DK = DM\) (điểm đối xứng).
- Từ đó, ta có \(AK \parallel ME\) và \(AK = ME\).

Vì vậy \(AKME\) là hình bình hành.

### c) Chứng minh tứ giác \(AKBM\) là hình thoi

Để chứng minh \(AKBM\) là hình thoi, cần chứng minh tất cả các cạnh của tứ giác này đều bằng nhau.

**Chứng minh:**

- Từ phần b), ta có \(AK = AM\) (vì \(M\) là trung điểm), và \(AB = AM\) (do là cạnh của tam giác vuông).
- Do đó, các cạnh \(AK\), \(AM\), \(AB\) đều bằng nhau.

Kết luận, tứ giác \(AKBM\) là hình thoi.

### d) Tính góc \(ABC\) khi \(BE = 2HM\)

Gọi \(H\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(BC\). Ta có \(H\) nằm trên \(BC\).

**Tính góc:**

1. Từ tính chất của đường cao trong tam giác vuông, ta có \(AH\) là đường cao, và \(HM\) cũng sẽ là một đoạn thẳng thuộc \(\triangle AHM\).
2. Vì \(BE = 2HM\) (với \(E\) là trung điểm của \(AC\)), ta có tỉ số giữa hai đoạn thẳng liên quan đến đường cao.
3. Sử dụng hệ số tỉ xứng về độ dài, ta có thể áp dụng lượng giác để tính.

Do không có thông tin cụ thể về các cạnh, để tính góc \(ABC\) cụ thể, ta cần sử dụng định lý sin hoặc cosin cho tam giác vuông:

Giả sử \(AB = c\), \(AC = b\) và \(BC = a\), thì:
\[
\tan\angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c}
\]

Từ đó, bạn có thể tìm được giá trị của \(\angle ABC\) nếu có các giá trị cạnh cụ thể.