a. \(|x + 4| + |x - 2| = 3\)

Để giải phương trình này, ta cần xem xét các trường hợp tùy theo giá trị của \(x\) để làm cho các biểu thức trong giá trị tuyệt đối có thể thay đổi.

1. Khi \(x \geq 2\):

\[
|x + 4| = x + 4 \quad \text{và} \quad |x - 2| = x - 2
\]
Thay vào phương trình:
\[
(x + 4) + (x - 2) = 3
\]
\[
2x + 2 = 3
\]
\[
2x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}
\]
\(x = \frac{1}{2}\) không phải là số nguyên.

2. **Khi \(-4 \leq x < 2\):**

\[
|x + 4| = x + 4 \quad \text{và} \quad |x - 2| = -x + 2
\]
Thay vào phương trình:
\[
(x + 4) + (-x + 2) = 3
\]
\[
6 = 3
\]
Đây là một đẳng thức đúng với mọi giá trị của \(x\) trong khoảng \([-4, 2)\).

**Các giá trị nguyên trong khoảng này là**: \(-4, -3, -2, -1, 0, 1\).

3. **Khi \(x < -4\):**

\[
|x + 4| = -x - 4 \quad \text{và} \quad |x - 2| = -x + 2
\]
Thay vào phương trình:
\[
(-x - 4) + (-x + 2) = 3
\]
\[
-2x - 2 = 3
\]
\[
-2x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{2}
\]
\(x = -\frac{5}{2}\) không phải là số nguyên.

**Kết luận**: Các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn là \(-4, -3, -2, -1, 0, 1\).

### b. \(|2x + 1| + |y - 1| = 4\)

Xét các trường hợp tùy thuộc vào giá trị của \(2x + 1\) và \(y - 1\):

1. **Khi \(2x + 1 \geq 0\) và \(y - 1 \geq 0\):**

\[
|2x + 1| = 2x + 1 \quad \text{và} \quad |y - 1| = y - 1
\]
Thay vào phương trình:
\[
(2x + 1) + (y - 1) = 4
\]
\[
2x + y = 4
\]

2. **Khi \(2x + 1 \geq 0\) và \(y - 1 < 0\):**

\[
|2x + 1| = 2x + 1 \quad \text{và} \quad |y - 1| = -y + 1
\]
Thay vào phương trình:
\[
(2x + 1) + (-y + 1) = 4
\]
\[
2x - y + 2 = 4
\]
\[
2x - y = 2
\]

3. **Khi \(2x + 1 < 0\) và \(y - 1 \geq 0\):**

\[
|2x + 1| = -2x - 1 \quad \text{và} \quad |y - 1| = y - 1
\]
Thay vào phương trình:
\[
(-2x - 1) + (y - 1) = 4
\]
\[
-2x + y - 2 = 4
\]
\[
-2x + y = 6
\]

4. **Khi \(2x + 1 < 0\) và \(y - 1 < 0\):**

\[
|2x + 1| = -2x - 1 \quad \text{và} \quad |y - 1| = -y + 1
\]
Thay vào phương trình:
\[
(-2x - 1) + (-y + 1) = 4
\]
\[
-2x - y = 4
\]

**Giải các phương trình này để tìm các giá trị nguyên của \(x\) và \(y\)**.

**Kết luận**:

- Đối với \(2x + y = 4\), thử các giá trị nguyên của \(x\), ví dụ: \(x = 0\), \(y = 4\), hay \(x = 1\), \(y = 2\).
- Đối với \(2x - y = 2\), thử các giá trị nguyên của \(x\), ví dụ: \(x = 1\), \(y = 0\), hay \(x = 2\), \(y = -2\).
- Đối với \(-2x + y = 6\), thử các giá trị nguyên của \(x\), ví dụ: \(x = 0\), \(y = 6\), hay \(x = -1\), \(y = 8\).
- Đối với \(-2x - y = 4\), thử các giá trị nguyên của \(x\), ví dụ: \(x = -1\), \(y = -6\), hay \(x = -2\), \(y = -8\).

### c. \(|3x| \times |y + 5| = 5\)

Xét các trường hợp:

1. \(|3x| = 1\) và \(|y + 5| = 5\):
- \(|3x| = 1 \Rightarrow 3x = \pm 1 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{3}\) (không phải số nguyên).
- \(|y + 5| = 5 \Rightarrow y + 5 = \pm 5 \Rightarrow y = 0 \text{ hoặc } y = -10\).

2. \(|3x| = 5\) và \(|y + 5| = 1\):
- \(|3x| = 5 \Rightarrow 3x = \pm 5 \Rightarrow x = \pm \frac{5}{3}\) (không phải số nguyên).
- \(|y + 5| = 1 \Rightarrow y + 5 = \pm 1 \Rightarrow y = -4 \text{ hoặc } y = -6\).

**Kết luận**: Không có giá trị nguyên \(x\) và \(y\) thỏa mãn điều kiện này.

### d. \(|5x| + |2y + 3| = 7\)

Xét các trường hợp:

1. **Khi \(5x \geq 0\) và \(2y + 3 \geq 0\):**

\[
|5x| = 5x \quad \text{và} \quad |2y + 3| = 2y + 3
\]
Thay vào phương trình:
\[
5x + 2y + 3 = 7
\]
\[
5x + 2y = 4
\]
Thử các giá trị nguyên của \(x\), ví dụ: \(x = 0\), \(y = 2\), hay \(x = 1\), \(y = -1\).

2. **Khi \(5x \geq 0\) và \(2y + 3 < 0\):**

\[
|5x| = 5x \quad \text{và} \quad |2y + 3| = - (2y + 3)
\]
Thay vào phương trình:
\[
5x - (2y + 3) = 7
\]
\[
5x - 2y - 3 = 7
\]
\[
5x - 2y = 10
\]
Thử các giá trị nguyên của \(x\), ví dụ: \(x = 2\),

\(y = -5\), hay \(x = 1\), \(y = -2\).

3. **Khi \(5x < 0\) và \(2y + 3 \geq 0\):**

\[
|5x| = -5x \quad \text{và} \quad |2y + 3| = 2y + 3
\]
Thay vào phương trình:
\[
-5x + 2y + 3 = 7
\]
\[
-5x + 2y = 4
\]
Thử các giá trị nguyên của \(x\), ví dụ: \(x = -1\), \(y = 2\), hay \(x = -2\), \(y = 1\).

4. **Khi \(5x < 0\) và \(2y + 3 < 0\):**

\[
|5x| = -5x \quad \text{và} \quad |2y + 3| = - (2y + 3)
\]
Thay vào phương trình:
\[
-5x - (2y + 3) = 7
\]
\[
-5x - 2y - 3 = 7
\]
\[
-5x - 2y = 10
\]
Thử các giá trị nguyên của \(x\), ví dụ: \(x = -2\), \(y = -5\), hay \(x = -1\), \(y = -2\).

**Kết luận**: Các cặp số nguyên thỏa mãn là:

- \((x, y) = (0, 2)\), \((1, -1)\), \((2, -5)\), \((1, -2)\), \((-1, 2)\), \((-2, -5)\).

...Xem thêm