Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một cách tuần tự. Đầu tiên, ta sẽ xác định các thông tin đã cho:

- Tam giác \(ABC\) có \(\angle A = 80^\circ\).
- Dựng \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\).
- Điểm \(D\) được lấy trên tia đối của tia \(HA\) sao cho \(HD = HA\).

### a) Chứng minh: \(AC = DC\)

1. **Xem xét tam giác \(AHD\)**:
- \(H\) là chân đường vuông góc từ \(A\) đến \(BC\).
- Ta có \(AH = HA\).
- Dễ dàng nhận thấy \(\triangle AHD\) là tam giác vuông tại \(H\).

2. **Tính độ dài:**
- Do \(HD = HA\), nên trong tam giác \(AHD\), ta có:
\[
AH = HD \implies AD = AH + HD = HA + HA = 2HA
\]

3. **Chứng minh \(\triangle AHC\) và \(\triangle DHC\)**:
- Trong tam giác \(AHC\) và \(DHC\), ta có:
- \(AH = DH\) (vì \(D\) nằm trên tia đối của \(HA\))
- \(HC = HC\) (cạnh chung)
- \(\angle AHC = \angle DHC = 90^\circ\)

4. **Kết luận**:
- Theo tiêu chí (cạnh - cạnh - cạnh), ta kết luận:
\[
AC = DC
\]

### b) Chứng minh \(\triangle ABC \cong \triangle ADBC\)

1. **Sử dụng sự đồng dạng**:
- Ta có \(\angle A = \angle A\) (cạnh chung).
- Ta đã chứng minh \(AC = DC\).
- Từ phần a, ta cũng có \(AH = HD\).

2. **Kết luận**:
- Theo tiêu chí (cạnh - góc - cạnh), ta có:
\[
\triangle ABC \cong \triangle ADB
\]

### c) Xác định số đo góc \(BDC\)

1. **Quan sát các góc:**
- Trong tam giác \(ABC\), ta có:
\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \implies 80^\circ + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]
- Do đó:
\[
\angle B + \angle C = 100^\circ
\]

2. **Tìm góc \(BDC\)**:
- Ta có:
\[
\angle BDC = 180^\circ - \angle BHA
\]
- Vì \(AH\) vuông góc với \(BC\) nên \(\angle BHA = 90^\circ\):
\[
\angle BDC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ
\]

### Kết luận:

1. \(AC = DC\)
2. \(\triangle ABC \cong \triangle ADB\)
3. \(\angle BDC = 90^\circ\)