Để giải quyết bài toán tìm \( u_1 \) và \( q \) trong dãy số nhân, ta bắt đầu từ các điều kiện đã cho.

Giả sử \( u_1, u_2, u_3, u_4, u_5 \) là các số hạng của dãy số nhân với \( u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \).

1. Từ điều kiện \( u_2 + u_3 + u_4 = \frac{35}{2} \):

\[
u_2 = u_1 q, \quad u_3 = u_1 q^2, \quad u_4 = u_1 q^3
\]

\[
u_1 q + u_1 q^2 + u_1 q^3 = \frac{35}{2}
\]

\[
u_1 (q + q^2 + q^3) = \frac{35}{2}
\]

2. Từ điều kiện \( u_1 \cdot u_5 = 25 \):

\[
u_5 = u_1 q^4
\]

\[
u_1 \cdot u_1 q^4 = 25
\]

\[
u_1^2 q^4 = 25
\]

\[
u_1 = \frac{5}{q^2} \quad \text{hoặc} \quad u_1 = -\frac{5}{q^2}
\]

Bây giờ thay \( u_1 = \frac{5}{q^2} \) vào phương trình đầu tiên:

\[
\frac{5}{q^2} (q + q^2 + q^3) = \frac{35}{2}
\]

\[
\frac{5}{q^2} q (1 + q + q^2) = \frac{35}{2}
\]

\[
\frac{5q (1 + q + q^2)}{q^2} = \frac{35}{2}
\]

\[
\frac{5 (1 + q + q^2)}{q} = \frac{35}{2}
\]

\[
10 (1 + q + q^2) = 35 q
\]

\[
10 + 10q + 10q^2 = 35q
\]

\[
10q^2 - 25q + 10 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này:

\[
q = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 400}}{20}
\]

\[
q = \frac{25 \pm \sqrt{225}}{20}
\]

\[
q = \frac{25 \pm 15}{20}
\]

\[
q = 2 \quad \text{hoặc} \quad q = \frac{1}{2}
\]

Nếu \( q = 2 \):

\[
u_1 = \frac{5}{q^2} = \frac{5}{4}
\]

Nếu \( q = \frac{1}{2} \):

\[
u_1 = \frac{5}{q^2} = 20
\]

Tuy nhiên, ta cần kiểm tra cả hai nghiệm để đảm bảo tính hợp lệ trong dãy số:

- Với \( q = 2 \) và \( u_1 = \frac{5}{4} \):

\[
u_2 = u_1 q = \frac{5}{4} \cdot 2 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}
\]

\[
u_3 = u_1 q^2 = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5
\]

\[
u_4 = u_1 q^3 = \frac{5}{4} \cdot 8 = 10
\]

\[
u_2 + u_3 + u_4 = \frac{5}{2} + 5 + 10 = \frac{5}{2} + \frac{10}{2} + \frac{20}{2} = \frac{35}{2}
\]

Điều này thoả mãn điều kiện \( u_2 + u_3 + u_4 = \frac{35}{2} \).

- Với \( q = \frac{1}{2} \) và \( u_1 = 20 \):

\[
u_2 = u_1 q = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10
\]

\[
u_3 = u_1 q^2 = 20 \cdot \frac{1}{4} = 5
\]

\[
u_4 = u_1 q^3 = 20 \cdot \frac{1}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}
\]

\[
u_2 + u_3 + u_4 = 10 + 5 + \frac{5}{2} = \frac{20}{2} + \frac{10}{2} + \frac{5}{2} = \frac{35}{2}
\]

Điều này cũng thoả mãn điều kiện \( u_2 + u_3 + u_4 = \frac{35}{2} \).

Vậy có hai cặp nghiệm thỏa mãn bài toán:

1. \( u_1 = \frac{5}{4}, q = 2 \)
2. \( u_1 = 20, q = \frac{1}{2} \)