Để chứng minh các yêu cầu, ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất của hình bình hành.

a) Chứng minh AMCN là hình bình hành

Giả thiết:
- MN là trung điểm của AB và CD.

Chứng minh:

1. MN là trung điểm của AB và CD:
- Ta có \( M \) và \( N \) là trung điểm của các đoạn \( AB \) và \( CD \), nên:
\[
\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}
\]
\[
\overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}
\]

2. Xét vector:
- Ta có:
\[
\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}
\]
\[
\overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}
\]
- Và:
\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}
\]
- Do đó:
\[
\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CN}
\]

3. Tính chất hình bình hành:
- Hình bình hành có đặc điểm là hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.
- Vì \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{CN} \) và \( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} \), nên \( AMCN \) là hình bình hành.

b) Chứng minh CIDK là hình bình hành và MINK là hình bình hành

Giả thiết:
- \( I \) thuộc \( AD \)
- \( K \) thuộc \( AC \)
- \( AI = CK \)

Chứng minh:

Chứng minh MINK là hình bình hành:

- Ta biết rằng \( MN \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \), và từ phần chứng minh trên \( AMCN \) là hình bình hành.
- Do đó, \( \overrightarrow{MN} \) là đoạn đối diện của \( \overrightarrow{AC} \) trong hình bình hành \( AMCN \).

- Tương tự, \( \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{MI} \) và \( \overrightarrow{NK} = \overrightarrow{MI} \).

- Vì \( AI = CK \), nên \( MINK \) cũng là hình bình hành.

Tóm lại:
- \( AMCN \) là hình bình hành vì \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{CN} \) và \( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} \).
- \( CIDK \) là hình bình hành vì \( \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{KD} \).
- \( MINK \) là hình bình hành vì các đoạn nối giữa các trung điểm và các điểm có cùng độ dài.