Để giải bài toán về hình thang ABCD với các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ phân tích từng phần.

### Vẽ hình
Trước tiên, bạn có thể vẽ hình thang ABCD với các thông tin sau:

- \( AD \parallel BC \)
- \( AD > BC \)
- Đường chéo \( AC \) vuông góc với cạnh bên \( CD \)
- \( AC \) là tia phân giác của góc \( BAD \)
- \( \angle D = 60^\circ \)

### a) Chứng minh ABCD là hình thang cân

1. **Phân tích góc**:
- Đường chéo \( AC \) vuông góc với \( CD \) cho thấy rằng \( \angle ADC = 90^\circ \).
- \( \angle D = 60^\circ \) nên \( \angle BAD \) sẽ có:
\[
\angle BAC = \angle BAD = \angle DAC = x
\]
Với \( \angle D = 60^\circ \) và tổng ba góc \( A, B, D \) trong tam giác ABC là \( 180^\circ \), ta có:
\[
\angle BAD + \angle ABC + 60^\circ = 180^\circ \implies x + \angle ABC + 60^\circ = 180^\circ \implies \angle ABC = 120^\circ - x
\]

2. **Phân giác góc**:
- Vì \( AC \) là tia phân giác, nên \( \angle BAD = \angle DAC = x \).
- Từ đó, ta có:
\[
\angle BAD = \angle ABC \implies x = 120^\circ - x \implies 2x = 120^\circ \implies x = 60^\circ
\]
Điều này cho thấy \( \angle BAD = \angle ABC = 60^\circ \).

3. **Kết luận**:
- Kết quả trên cho thấy \( \triangle ABX \) và \( \triangle ACX \) có hai góc bằng nhau. Do đó, \( AB = AC \).

Từ đó, \( ABCD \) là hình thang cân, có \( AB = BC \).

### b) Tính độ dài cạnh \( AD \), biết chu vi hình thang bằng 20cm

1. **Biểu diễn**:
- Gọi \( AD = a \) và \( BC = b \).
- Theo công thức chu vi hình thang, ta có:
\[
P = AD + BC + AB + CD = 20 \text{cm}
\]

2. **Tính các cạnh**:
- Từ định lý sin trong tam giác \( ACD \), với \( \angle DAC = 60^\circ \) và \( AC \) vuông góc với \( CD \).
- Giả sử \( CD = b \). Khi đó, từ tam giác \( ACD \):
\[
AC = CD \cdot \tan(60^\circ) = b \sqrt{3}
\]

3. **Thay vào chu vi**:
- Ta có:
\[
20 = a + b + 2b + b\sqrt{3}
\]
Biểu thức trở thành:
\[
20 = a + 3b + b\sqrt{3}
\]

4. **Giả sử**:
- Giả sử \( b = 2 \) (bạn có thể chọn giá trị này tùy ý, nhưng để dễ tính thì b cho nhỏ).
- Thay \( b = 2 \) vào biểu thức chu vi:
\[
20 = a + 3(2) + 2\sqrt{3} \implies 20 = a + 6 + 2\sqrt{3}
\]
\[
a = 14 - 2\sqrt{3}
\]

5. **Kết quả**:
Để ra được giá trị chính xác, bạn dễ dàng thay \( b = 2 \) khác vào công thức để thu được độ dài của \( AD \).

Do đó, bạn có thể chọn giá trị cho \( b \) và tính giá trị cho \( a \) sao cho tổng chu vi bằng 20cm.

### Kết luận
Sau khi chứng minh \( ABCD \) là hình thang cân và tính toán chu vi, bạn có thể tìm được độ dài của \( AD \). Thực hiện các bước này sẽ giúp bạn đạt được kết quả chính xác trong cách tính.

Để giải bài toán về hình thang ABCD với các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ phân tích từng phần.

### Vẽ hình
Trước tiên, bạn có thể vẽ hình thang ABCD với các thông tin sau:

- AD∥BC??∥??
- AD>BC??>??
- Đường chéo AC?? vuông góc với cạnh bên CD??
- AC?? là tia phân giác của góc BAD???
- ∠D=60∘∠?=60∘

### a) Chứng minh ABCD là hình thang cân

1. **Phân tích góc**:
- Đường chéo AC?? vuông góc với CD?? cho thấy rằng ∠ADC=90∘∠???=90∘.
- ∠D=60∘∠?=60∘ nên ∠BAD∠??? sẽ có:
∠BAC=∠BAD=∠DAC=x∠???=∠???=∠???=?
Với ∠D=60∘∠?=60∘ và tổng ba góc A,B,D?,?,? trong tam giác ABC là 180∘180∘, ta có:
∠BAD+∠ABC+60∘=180∘⟹x+∠ABC+60∘=180∘⟹∠ABC=120∘−x∠???+∠???+60∘=180∘⟹?+∠???+60∘=180∘⟹∠???=120∘−?

2. **Phân giác góc**:
- Vì AC?? là tia phân giác, nên ∠BAD=∠DAC=x∠???=∠???=?.
- Từ đó, ta có:
∠BAD=∠ABC⟹x=120∘−x⟹2x=120∘⟹x=60∘∠???=∠???⟹?=120∘−?⟹2?=120∘⟹?=60∘
Điều này cho thấy ∠BAD=∠ABC=60∘∠???=∠???=60∘.

3. **Kết luận**:
- Kết quả trên cho thấy △ABX△??? và △ACX△??? có hai góc bằng nhau. Do đó, AB=AC??=??.

Từ đó, ABCD???? là hình thang cân, có AB=BC??=??.

### b) Tính độ dài cạnh AD??, biết chu vi hình thang bằng 20cm

1. **Biểu diễn**:
- Gọi AD=a??=? và BC=b??=?.
- Theo công thức chu vi hình thang, ta có:
P=AD+BC+AB+CD=20cm?=??+??+??+??=20cm

2. **Tính các cạnh**:
- Từ định lý sin trong tam giác ACD???, với ∠DAC=60∘∠???=60∘ và AC?? vuông góc với CD??.
- Giả sử CD=b??=?. Khi đó, từ tam giác ACD???:
AC=CD⋅tan(60∘)=b√3??=??⋅tan⁡(60∘)=?3

3. **Thay vào chu vi**:
- Ta có:
20=a+b+2b+b√320=?+?+2?+?3
Biểu thức trở thành:
20=a+3b+b√320=?+3?+?3

4. **Giả sử**:
- Giả sử b=2?=2 (bạn có thể chọn giá trị này tùy ý, nhưng để dễ tính thì b cho nhỏ).
- Thay b=2?=2 vào biểu thức chu vi:
20=a+3(2)+2√3⟹20=a+6+2√320=?+3(2)+23⟹20=?+6+23
a=14−2√3?=14−23

5. **Kết quả**:
Để ra được giá trị chính xác, bạn dễ dàng thay b=2?=2 khác vào công thức để thu được độ dài của AD??.

Do đó, bạn có thể chọn giá trị cho b? và tính giá trị cho a? sao cho tổng chu vi bằng 20cm.

### Kết luận
Sau khi chứng minh ABCD???? là hình thang cân và tính toán chu vi, bạn có thể tìm được độ dài của AD??. Thực hiện các bước này sẽ giúp bạn đạt được kết quả chính xác trong cách tính.