Để chứng minh các đẳng thức và tỉ lệ trong trường hợp tam giác vuông \( \triangle ABC \) với \( A \) là góc vuông và đường cao \( AH \) cắt đường phân giác \( BD \) tại điểm \( I \), chúng ta có thể áp dụng định lý về tỉ lệ trong tam giác và các tính chất của tam giác vuông cùng với đường phân giác.

### a) Chứng minh \( IA \cdot BH = IH \cdot BA \)

Xét tam giác \( \triangle AIB \):

- Theo định lý phân giác, ta có
\[
\frac{AI}{IB} = \frac{AD}{DC}
\]

Vì \( A \) vuông tại \( A \), vậy \( AH \) là đường cao, và theo định lý Pythagore:
\[
AB^2 = AI^2 + HIA^2
\]
Do đó, \( IH \) là đoạn thẳng nằm trong tam giác \( AIB \) nên chúng ta áp dụng định lý Menelaus đối với tam giác \( \triangle AHB \).

Trong tam giác \( AHB \), đường thẳng \( DI \) cắt cạnh \( AB \):

Chúng ta có:
\[
\frac{AI}{IH} \cdot \frac{HB}{BA} = 1
\]
Suy ra:
\[
IA \cdot HB = IH \cdot BA
\]

### b) Chứng minh \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \)

Để chứng minh hai tam giác này đồng dạng, ta sẽ sử dụng định lý về các góc tương ứng trong tam giác vuông.

- Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) tại \( A \), góc \( CAB = \angle ABA \).
- Vậy \( \angle AHB = 90^\circ \) (vì \( AH \) là đường cao), và \( \angle HBA = \angle ABC \).

Vì vậy \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \) theo tiêu chuẩn góc-góc (góc tương ứng bằng nhau).

### c) Chứng minh \( \frac{HI}{IA} = \frac{AD}{DC} \)

Từ việc đã chứng minh ở phần a), chúng ta có:

Sử dụng tỉ lệ đã được thiết lập trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) và \( \triangle AID \):

Theo định lý phân giác trong tam giác \( ABC \), mà đoạn phân giác \( BD \) chia cạnh \( AC \):

Vậy,
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{IA}{IH}
\]

Suy ra:
\[
\frac{HI}{IA} = \frac{AD}{DC}
\]

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh thành công cả ba phần:
- \( IA \cdot BH = IH \cdot BA \)
- \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \)
- \( \frac{HI}{IA} = \frac{AD}{DC} \)

Các chứng minh trên dựa vào tính chất của tam giác