Chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các yêu cầu của bài toán.

### a) Chứng minh tứ giác ABMC là hình chữ nhật.

Để chứng minh rằng tứ giác ABMC là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của nó đều song song và bằng nhau.

1. **Điểm F là trung điểm của BC**: Theo định nghĩa trung điểm, ta có \( BF = FC \).
2. **M là điểm đối xứng với A qua F**: Suy ra \( AF = FM \) và \( AF \perp FM \).
3. **Từ đó, ta có**:
- \( AB \parallel MC \) (do \( AB \perp AC \) và \( F \) là trung điểm)
- \( AM = FC \) (do \( F \) là trung điểm)

Như vậy, tứ giác ABMC có hai cặp cạnh đối diện vừa song song vừa bằng nhau, vậy nên tứ giác ABMC là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác BDEF là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác BDEF là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau.

1. **D là trung điểm của AB** và **E là trung điểm của AC**:
- Suy ra \( BD = DA \) và \( AE = EC \).
2. **DF và BE** là hai đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh (BD, AC và DE, AB):
- Ta có \( D \) là trung điểm của tuyến \( AB \), và \( E \) là trung điểm của tuyến \( AC \), do đó \( DE \parallel BF \) và \( BE \parallel DF \).

Như vậy, hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, suy ra tứ giác BDEF là hình bình hành.

### c) Chứng minh AB là tia phân giác của GAF.

1. **F là trung điểm của BC**, và G là đối xứng của F qua D. Suy ra, \( DF = FG \).
2. **Điểm A thuộc trên đường thẳng BC**: Suy ra rằng các điểm \( A, D, F, G \) thẳng hàng.
3. **Đường thẳng AB cắt AF tại F**: Khi đó, điểm D là trung điểm của AB và G nằm trên nối A và F.

Vậy AB sẽ là tia phân giác của góc GAF.

### d) Chứng minh HK vuông góc với AC.

1. **AH là đường cao của tam giác ABC từ A xuống cạnh BC**: Điều này có nghĩa là \( AH \perp BC \).
2. **Đường thẳng AK song song với DH**: Bởi vì AK song song với DH, và \( AH \perp BC \).
3. **K nằm trên DE**: Do DE là đường nối giữa trung điểm D và E.

Suy ra rằng nếu \( AH \perp BC \) và \( HK \) là một đường thẳng cắt DE tại K, thì chắc chắn rằng \( HK \perp AC \).

Hy vọng rằng những giải thích trên sẽ giúp bạn trong việc hiểu bài toán! Nếu cần thêm điều gì hãy cho tôi biết nhé!