Để giải bài toán, ta sẽ tiến hành chứng minh từng phần một.

### Giả thiết
Cho tam giác \( \Delta ABC \) với \( AB < AC \). Kẻ tia phân giác \( AD \) của góc \( BAC \) (trong đó \( D \) thuộc cạnh \( BC \)). Trên cạnh \( AC \) lấy điểm \( E \) sao cho \( AE = AB \), và trên tia \( AB \) lấy điểm \( F \) sao cho \( AF = AC \).

### Chứng minh

#### a) Chứng minh \( \Delta BDF \cong \Delta EDC \)

Theo tính chất của tia phân giác, ta có tỉ số:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}
\]
Gọi \( AB = c \) và \( AC = b \), do đó:
\[
\frac{BD}{CD} = \frac{c}{b}
\]

Ta đã chỉ ra rằng \( AE = AB = c \) và \( AF = AC = b \).

Ta sẽ xem xét hai tam giác \( \Delta BDF \) và \( \Delta EDC \):
- Các cạnh tương ứng có độ dài: \( BD \) (ở \( \Delta BDF \)) và \( EC \) (ở \( \Delta EDC \));
- Ta cũng có \( DF = AF - AD \) và tương tự cho \( EC \Từ đó, \( BD / CD = AE / EC \) và cạnh \( DF \) được chứng minh tương ứng với \( DC \). Theo tiêu chí cạnh – cạnh - góc (c.c.g), ta có:
\[
\Delta BDF \cong \Delta EDC
\]

#### b) Chứng minh \( BF = EC \)

Từ tam giác \( \Delta BDF \cong \Delta EDC \):
- Theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có \( BF = EC \).

#### c) Chứng minh \( F, D, E \) thẳng hàng

Ta có \( AE = AB \) và \( AF = AC \), đồng thời từ tam giác \( BDF \) và \( EDC \) đồng dạng, ta kết luận rằng ba điểm \( F, D, E \) sẽ nằm trên một đường thẳng do tính chất đồng quy của các tam giác này.

#### d) Chứng minh \( AD \perp FC \)

Ta sẽ chứng minh điều này bằng cách xác định rằng tam giác \( ABD \) và \( ADF \) là tam giác vuông. Do \( AD \) là tia phân giác, từ các tính chất của góc vuông và góc phụ, ta có:
\[
\angle ADF + \angle ADB = 90^\circ
\]

Do đó, ta có \( AD \perp FC \).

### Kết luận
Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu đã đề ra trong bài toán. Các điểm \( B, D, F \) thỏa mãn các điều kiện cần thiết và \( AD \) là đường vuông góc với \( FC \).

a) Chứng minh \(\Delta BDF = \Delta EDC\)

1. Ta có \(AB < AC\), do đó \(E\) thuộc đoạn \(AC\) và \(F\) thuộc tia \(AB\).
2. \(AE = AB\) và \(AF = AC\) theo giả thiết.
3. Ta có \( \angle BAF = \angle CAF \) (vì AF là tia phân giác).

Xét hai tam giác \(\Delta BDF\) và \(\Delta EDC\):

- \(BD = DE\) (do \(AD\) là tia phân giác của \(\angle BAC\))
- \(\angle BDF = \angle EDC\) (góc đối đỉnh)
- \(DF = DC\) (do \(F\) nằm trên tia phân giác của \(\angle BAC\) và \(F\) là ảnh của \(E\))

Do đó, theo cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có:

\[
\Delta BDF \cong \Delta EDC
\]

b) Chứng minh \(BF = EC\)

Từ kết quả \(\Delta BDF \cong \Delta EDC\), ta có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau:

\[
BF = EC
\]

c) Chứng minh \(F, D, E\) thẳng hàng

Để chứng minh \(F, D, E\) thẳng hàng, ta chứng minh rằng ba điểm này cùng nằm trên một đường thẳng. Ta đã có:

- \(\Delta BDF \cong \Delta EDC\), do đó \(\angle BFD = \angle EDC\).
- \( \angle BFD + \angle EDC = 180^\circ \).

Vậy \(F, D, E\) thẳng hàng.

d) Chứng minh \(AD \perp FC\)

Để chứng minh \(AD \perp FC\), ta xét tam giác \(\Delta AFC\):

- \(\angle BAF = \angle CAF\) do \(AF\) là tia phân giác của \(\angle BAC\).
- \(\angle BFD = \angle EDC\) và chúng là các góc đối đỉnh.

Ta có:

- \(BF = EC\), do đó \(F\) và \(C\) là các điểm đối xứng qua \(AD\).

Vậy \(AD\) là đường phân giác và đồng thời là đường trung trực của đoạn \(FC\), nên \(AD\) vuông góc với \(FC\).

\[
AD \perp FC
\]

Tất cả các phần của bài toán đã được chứng minh.