Để giải các phương trình này, chúng ta cần giải từng phương trình một cách chi tiết:

### a) \(\frac{2}{2 - x} - \frac{1}{x - 1} = 2\)

Đưa về mẫu chung và giải phương trình:
\[
\frac{2}{2 - x} - \frac{1}{x - 1} = 2
\]
\[
\frac{2(x - 1) - 1(2 - x)}{(2 - x)(x - 1)} = 2
\]
\[
\frac{2x - 2 - 2 + x}{(2 - x)(x - 1)} = 2
\]
\[
\frac{3x - 4}{(2 - x)(x - 1)} = 2
\]
\[
3x - 4 = 2(2 - x)(x - 1)
\]
\[
3x - 4 = 2(2x - 2 - x^2 + x)
\]
\[
3x - 4 = 4x - 4 - 2x^2 + 2x
\]
\[
3x - 4 = -2x^2 + 6x - 4
\]
\[
0 = -2x^2 + 3x - 4 - 6x + 4
\]
\[
0 = -2x^2 - 3x
\]
\[
0 = x(-2x - 3)
\]

Vậy, \(x = 0\) hoặc \(x = -\frac{3}{2}\). Tuy nhiên, cần kiểm tra các nghiệm để chắc chắn rằng chúng không làm mẫu số bằng 0.

### b) \(|x - 1| + |x - 3| = 4\)

Xét các trường hợp khác nhau của giá trị tuyệt đối:

1. \(x \geq 3\):
\[
x - 1 + x - 3 = 4
\]
\[
2x - 4 = 4
\]
\[
2x = 8
\]
\[
x = 4
\]

2. \(1 \leq x < 3\):
\[
x - 1 + 3 - x = 4
\]
\[
2 = 4
\]
(trường hợp này không có nghiệm)

3. \(x < 1\):
\[
1 - x + 3 - x = 4
\]
\[
4 - 2x = 4
\]
\[
-2x = 0
\]
\[
x = 0
\]

Vậy, nghiệm là \(x = 4\) và \(x = 0\).

### c) \(|x + 5| + |10 - x| = 15\)

Xét các trường hợp khác nhau của giá trị tuyệt đối:

1. \(x \geq 10\):
\[
x + 5 + 10 - x = 15
\]
\[
15 = 15
\]
(trường hợp này luôn đúng, vậy mọi \(x \geq 10\) là nghiệm)

2. \(-5 \leq x < 10\):
\[
x + 5 + 10 - x = 15
\]
\[
15 = 15
\]
(trường hợp này luôn đúng, vậy mọi \(-5 \leq x < 10\) là nghiệm)

3. \(x < -5\):
\[
-x - 5 + 10 - x = 15
\]
\[
-2x + 5 = 15
\]
\[
-2x = 10
\]
\[
x = -5
\]

Vậy, nghiệm là \(x \leq 10\).

### d) \(|2x + 1| + |x - 3| = 4\)

Xét các trường hợp khác nhau của giá trị tuyệt đối:

1. \(x \geq 3\):
\[
2x + 1 + x - 3 = 4
\]
\[
3x - 2 = 4
\]
\[
3x = 6
\]
\[
x = 2
\]

2. \( -\frac{1}{2} \leq x < 3\):
\[
2x + 1 + 3 - x = 4
\]
\[
x + 4 = 4
\]
\[
x = 0
\]

3. \(x < -\frac{1}{2}\):
\[
-2x - 1 + 3 - x = 4
\]
\[
-3x + 2 = 4
\]
\[
-3x = 2
\]
\[
x = -\frac{2}{3}
\]

### e) \(|2x - 1| + |3x - 5| = 3\)

Xét các trường hợp khác nhau của giá trị tuyệt đối:

1. \(x \geq \frac{5}{3}\):
\[
2x - 1 + 3x - 5 = 3
\]
\[
5x - 6 = 3
\]
\[
5x = 9
\]
\[
x = \frac{9}{5}
\]

2. \( \frac{1}{2} \leq x < \frac{5}{3}\):
\[
2x - 1 + 5 - 3x = 3
\]
\[
-x + 4 = 3
\]
\[
-x = -1
\]
\[
x = 1
\]

3. \(x < \frac{1}{2}\):
\[
-2x + 1 + 5 - 3x = 3
\]
\[
-5x + 6 = 3
\]
\[
-5x = -3
\]
\[
x = \frac{3}{5}
\]

### f) \(|x - 3| + |x + 14| = 17\)

Xét các trường hợp khác nhau của giá trị tuyệt đối:

1. \(x \geq 3\):
\[
x - 3 + x + 14 = 17
\]
\[
2x + 11 = 17
\]
\[
2x = 6
\]
\[
x = 3
\]

2. \(-14 \leq x < 3\):
\[
x - 3 + 14 - x = 17
\]
\[
11 = 17
\]
(trường hợp này không có nghiệm)

3. \(x < -14\):
\[
- x + 3 + 14 - x = 17
\]
\[
17 - 2x = 17
\]
\[
-2x = 0
\]
\[
x = 0
\]

### g) \(\frac{4}{x - 3} + \frac{5}{x + 1} = 19\)

Đưa về mẫu chung và giải phương trình:
\[
\frac{4}{x - 3} + \frac{5}{x + 1} = 19
\]
\[
\frac{4(x + 1) + 5(x - 3)}{(x - 3)(x + 1)} = 19
\]
\[
\frac{4x + 4 + 5x - 15}{(x - 3)(x + 1)} = 19
\]
\[
\frac{9x - 11}{(x - 3)(x + 1)} = 19
\]
\[
9x - 11 = 19(x - 3)(x + 1)
\]
\[
9x - 11 = 19(x^2 - 2x - 3)
\]
\[
9x - 11 = 19x^2 - 38x - 57
\]
\[
0 = 19x^2 - 47x - 46
\]

Giải phương trình bậc hai này:
\[
x = \frac{47 \pm \sqrt{47^2 - 4 \cdot 19 \cdot (-46)}}{2 \cdot 19}
\]
\[
x = \frac{47 \pm \sqrt{2209 + 3484}}{38}
\]
\[
x = \frac{47 \pm \sqrt{5693}}{38}
\]
\[
x = \frac{47 \pm 75.44}{38}
\]

Vậy, \(x = 3.22\) hoặc \(x = -0.75\).