Để rút gọn biểu thức \( A = 2\cos^2(2a) + \sqrt{3}\sin(4a) - \frac{1}{2}\sin^2(2a) + \sqrt{3}\sin(4a) - 1 \), ta tiến hành các bước sau:

1. **Gộp các hạng tử giống nhau**:
\[
A = 2\cos^2(2a) - \frac{1}{2}\sin^2(2a) + \sqrt{3}\sin(4a) + \sqrt{3}\sin(4a) - 1
\]

\[
A = 2\cos^2(2a) - \frac{1}{2}\sin^2(2a) + 2\sqrt{3}\sin(4a) - 1
\]

2. **Sử dụng các công thức lượng giác để chuyển đổi các biểu thức**:

Ta biết rằng:
\[
\sin(4a) = 2\sin(2a)\cos(2a)
\]

và

\[
\cos^2(2a) = \frac{1 + \cos(4a)}{2}
\]

\[
\sin^2(2a) = \frac{1 - \cos(4a)}{2}
\]

Thay vào biểu thức:
\[
2\cos^2(2a) = 2 \cdot \frac{1 + \cos(4a)}{2} = 1 + \cos(4a)
\]

\[
-\frac{1}{2}\sin^2(2a) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos(4a)}{2} = -\frac{1 - \cos(4a)}{4} = -\frac{1}{4} + \frac{\cos(4a)}{4}
\]

Thay vào biểu thức \(A\):
\[
A = 1 + \cos(4a) - \frac{1}{4} + \frac{\cos(4a)}{4} + 2\sqrt{3}\sin(4a) - 1
\]

Gộp các hạng tử lại:
\[
A = \left(1 - \frac{1}{4}\right) + \left(\cos(4a) + \frac{\cos(4a)}{4}\right) + 2\sqrt{3}\sin(4a) - 1
\]

\[
A = \frac{3}{4} + \frac{4\cos(4a)}{4} + \frac{\cos(4a)}{4} + 2\sqrt{3}\sin(4a) - 1
\]

\[
A = \frac{3}{4} + \frac{5\cos(4a)}{4} + 2\sqrt{3}\sin(4a) - 1
\]

3. **Kết hợp các hệ số tự do**:

\[
A = \frac{3}{4} - 1 + \frac{5\cos(4a)}{4} + 2\sqrt{3}\sin(4a)
\]

\[
A = -\frac{1}{4} + \frac{5\cos(4a)}{4} + 2\sqrt{3}\sin(4a)
\]

Vậy, biểu thức rút gọn của \( A \) là:
\[
A = \frac{5\cos(4a) - 1}{4} + 2\sqrt{3}\sin(4a)
\]