Để tìm \(m\) sao cho hai đồ thị của các phương trình \(y = x^2 + (m-1)x + m\) và \(y = 2x + m + 1\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt, chúng ta cần giải hệ phương trình và đảm bảo phương trình có hai nghiệm phân biệt.

### Bước 1: Thiết lập phương trình

Hai phương trình cho ta:
\[ y = x^2 + (m-1)x + m \]
\[ y = 2x + m + 1 \]

Để tìm giao điểm, ta đặt hai phương trình bằng nhau:
\[ x^2 + (m-1)x + m = 2x + m + 1 \]

### Bước 2: Đưa tất cả các hạng tử về một vế

\[ x^2 + (m-1)x + m - 2x - m - 1 = 0 \]
\[ x^2 + (m-1-2)x + m - m - 1 = 0 \]
\[ x^2 + (m-3)x - 1 = 0 \]

### Bước 3: Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt

Phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
\[ \Delta = b^2 - 4ac > 0 \]

Với \(a = 1\), \(b = m-3\), và \(c = -1\), ta có:
\[ \Delta = (m-3)^2 - 4(1)(-1) \]
\[ \Delta = (m-3)^2 + 4 \]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần:
\[ (m-3)^2 + 4 > 0 \]

### Bước 4: Xét điều kiện

Ta nhận thấy rằng \((m-3)^2 \geq 0\) với mọi giá trị của \(m\) và luôn có \(4 > 0\). Do đó:
\[ (m-3)^2 + 4 \geq 4 > 0 \]

Vì vậy, điều kiện này luôn thỏa mãn với mọi giá trị của \(m\). Điều này có nghĩa là phương trình bậc hai \(x^2 + (m-3)x - 1 = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

### Kết luận

Vậy, với mọi giá trị của \(m\), hai đồ thị \(y = x^2 + (m-1)x + m\) và \(y = 2x + m + 1\) sẽ cắt nhau tại hai điểm phân biệt.