Để tính tổng của biểu thức \( \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{18 \cdot 19 \cdot 20} \), chúng ta có thể tìm một công thức chung cho các số hạng.

### Bước 1: Xét số hạng tổng quát
Số hạng tổng quát của dãy là:
\[
\frac{1}{n(n+1)(n+2)}
\]

### Bước 2: Phân tích phân số thành các phân số đơn giản
Chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích thành các phân số đơn giản. Cụ thể:
\[
\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}
\]

Giải phương trình này để tìm các hằng số \(A\), \(B\), và \(C\):
\[
1 = A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1)
\]

### Bước 3: Giải hệ phương trình
Xét \(n = 0\):
\[
1 = A(1)(2) \Rightarrow 1 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2}
\]

Xét \(n = -1\):
\[
1 = B(-1)(1) \Rightarrow 1 = -B \Rightarrow B = -1
\]

Xét \(n = -2\):
\[
1 = C(-2)(-1) \Rightarrow 1 = 2C \Rightarrow C = \frac{1}{2}
\]

Vậy:
\[
\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1/2}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1/2}{n+2}
\]

### Bước 4: Viết lại tổng
Tổng cần tính là:
\[
\sum_{n=1}^{18} \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)} \right)
\]

### Bước 5: Tính tổng các chuỗi con
Xét riêng từng phần của tổng:
\[
\sum_{n=1}^{18} \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{18} \frac{1}{n}
\]
\[
\sum_{n=1}^{18} \frac{1}{n+1} = \sum_{n=2}^{19} \frac{1}{n}
\]
\[
\sum_{n=1}^{18} \frac{1}{2(n+2)} = \frac{1}{2} \sum_{n=3}^{20} \frac{1}{n}
\]

### Bước 6: Kết hợp các chuỗi con
Chúng ta có thể kết hợp các chuỗi trên như sau:
\[
\frac{1}{2} \left( \sum_{n=1}^{18} \frac{1}{n} + \sum_{n=3}^{20} \frac{1}{n} \right) - \sum_{n=2}^{19} \frac{1}{n}
\]

### Bước 7: Rút gọn tổng
Tổng trên có thể được rút gọn bởi sự triệt tiêu các phần tử tương ứng. Do đó, kết quả sẽ là:
\[
\frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{19} - \frac{1}{20}\right)
\]

Tổng quát:
\[
\sum_{n=1}^{18} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{19} - \frac{1}{20} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{19} - \frac{1}{20} \right)
\]

### Kết luận
Sau khi rút gọn, kết quả là:
\[
\sum_{n=1}^{18} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{19} - \frac{1}{20} \right)
\]
Tổng cộng:
\[
= \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{19} - \frac{1}{20} \right) \approx \frac{1}{2} \left( 1.5 - 0.0526 \right)
= \frac{1}{2} \left(1.4474\right)
= 0.7237
\]