Để tìm các số \( a, b, c \in \mathbb{Z} \) sao cho chúng thỏa mãn các điều kiện sau:
1. \( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = 3 \)
2. \( \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{a}{c} = 3 \)
3. \( a + b + c = 3 \)

Chúng ta sẽ giải quyết từng điều kiện một cách tuần tự để tìm ra các giá trị của \(a\), \(b\), và \(c\).

Bước 1: Điều kiện 1 và Điều kiện 2
Xét các điều kiện 1 và 2:

\[
\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = 3
\]

\[
\frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{a}{c} = 3
\]

 Bước 2: Điều kiện 3
Điều kiện 3:

\[
a + b + c = 3
\]

Bước 3: Giả sử các giá trị
Ta sẽ thử các giá trị của \(a, b, c\) là các số nguyên (do \(a, b, c \in \mathbb{Z}\)) để tìm ra các giá trị thỏa mãn cả ba điều kiện.

Giả sử \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 1\)
Ta thử với các giá trị nhỏ nhất trước:

\[
a = 1, b = 1, c = 1
\]

Kiểm tra từng điều kiện:
1. \(\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 1 + 1 + 1 = 3\)
2. \(\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 1 + 1 + 1 = 3\)
3. \(1 + 1 + 1 = 3\)

Vậy \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 1\) thỏa mãn cả ba điều kiện.

Giả sử \(a\), \(b\), \(c\) có các giá trị khác
Để tìm thêm các giá trị khác có thể thỏa mãn, ta cần thử các cặp giá trị nguyên khác:

Xét các trường hợp khác với \(a\), \(b\), \(c\) là các số nguyên khác nhau.

Giả sử \(a = 3\), \(b = 0\), \(c = 0\)
Thử \(a = 3, b = 0, c = 0\):

1. \(\frac{3}{0}\) không xác định.

Do đó, trường hợp này không thể xảy ra.

Giả sử \(a = 0\), \(b = 3\), \(c = 0\)
Thử \(a = 0, b = 3, c = 0\):

1. \(\frac{0}{3} + \frac{3}{0} + \frac{0}{0}\) không xác định.

Do đó, trường hợp này không thể xảy ra.

Kết luận
Sau khi thử và loại bỏ các giá trị không phù hợp, chỉ có một bộ giá trị thỏa mãn các điều kiện đã cho:

\[
\boxed{(a, b, c) = (1, 1, 1)}
\]

Vậy các số nguyên \( a, b, c \in \mathbb{Z} \) thỏa mãn điều kiện bài toán là \( a = 1, b = 1, c = 1 \).