Để tính tổng của dãy số:

\[ 1 + \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{10} + \frac{2}{15} + \ldots + \frac{2}{45} \]

Trước hết, chúng ta cần nhận diện quy luật của các phân số. Ta thấy rằng các mẫu số của phân số là số hạng thứ \(n\) của dãy \(3, 6, 10, 15, \ldots, 45\).

### Bước 1: Xác định quy luật của mẫu số
Quan sát dãy \(3, 6, 10, 15, \ldots, 45\):

- Số hạng thứ nhất là \(3\)
- Số hạng thứ hai là \(6\)
- Số hạng thứ ba là \(10\)
- Số hạng thứ tư là \(15\)
- ...

Nhận thấy sự khác nhau giữa các số hạng liên tiếp là:
\[ 6 - 3 = 3 \]
\[ 10 - 6 = 4 \]
\[ 15 - 10 = 5 \]

Do đó, có thể viết công thức tổng quát cho số hạng thứ \(n\) là:
\[ a_n = \frac{n(n+2)}{2} \]

### Bước 2: Xác định số hạng tương ứng của dãy

Do đó, tổng cần tính là:
\[ 1 + \frac{2}{3} + \frac{2}{\frac{2 \times 3}{2}} + \frac{2}{\frac{3 \times 4}{2}} + \frac{2}{\frac{4 \times 5}{2}} + \ldots + \frac{2}{\frac{9 \times 11}{2}} \]

### Bước 3: Tính tổng các phân số
Ta viết lại tổng:

\[ 1 + \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{10} + \frac{2}{15} + \ldots + \frac{2}{45} \]

Lưu ý rằng các số hạng sau \(1\) có dạng:

\[ \frac{2}{\frac{n(n+2)}{2}} = \frac{2 \times 2}{n(n+2)} = \frac{4}{n(n+2)} \]

Như vậy, các số hạng của tổng là:
\[ \frac{4}{n(n+2)} = \frac{4}{n(n+2)} = \frac{4}{n(n+2)} = \frac{4}{n(n+2)} = \frac{4}{n(n+2)} = \ldots = \frac{4}{n(n+2)} \]

Chúng ta cần tính tổng:
\[ 1 + \sum_{n=1}^{9} \frac{4}{n(n+2)} \]

### Bước 4: Phân tích thành các phân số đơn giản
Để tính tổng \(\sum_{n=1}^{9} \frac{4}{n(n+2)}\), ta viết lại phân số đơn giản hơn:
\[ \frac{4}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2} \]

Giải phương trình:
\[ 4 = A(n+2) + Bn \]
\[ 4 = An + 2A + Bn \]
\[ 4 = (A + B)n + 2A \]

Do đó:
\[ A + B = 0 \]
\[ 2A = 4 \]
\[ A = 2 \]
\[ B = -2 \]

Vậy:
\[ \frac{4}{n(n+2)} = \frac{2}{n} - \frac{2}{n+2} \]

### Bước 5: Tính tổng các số hạng
\[ \sum_{n=1}^{9} \left( \frac{2}{n} - \frac{2}{n+2} \right) \]

Tổng các số hạng dạng này là một dãy số vi phân và vi phân:

\[ \left( \frac{2}{1} - \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{2}{2} - \frac{2}{4} \right) + \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{5} \right) + \ldots + \left( \frac{2}{9} - \frac{2}{11} \right) \]

Nhiều số hạng sẽ bị triệt tiêu, và chúng ta chỉ còn lại:

\[ \frac{2}{1} + \frac{2}{2} - \frac{2}{10} - \frac{2}{11} \]

Giá trị của tổng là:

\[ 2 + 1 - \frac{2}{10} - \frac{2}{11} \]
\[ 3 - \frac{1}{5} - \frac{2}{11} \]
\[ 3 - \frac{1}{5} - \frac{2}{11} = 3 - 0.2 - 0.1818 \approx 3 - 0.3818 = 2.6182 \]

### Kết luận

Giá trị gần đúng của tổng là:

\[ 2.6182 \]

Nếu bạn cần kết quả chính xác hơn, hãy tính các phân số chính xác hoặc sử dụng công cụ tính toán.