Để phân tích thành nhân tử các biểu thức đại số, ta sẽ sử dụng các phương pháp như nhóm hạng tử, công thức đa thức, hoặc các phương pháp khác. Dưới đây là cách phân tích từng biểu thức:

### **a) Phân tích biểu thức \(x^3 + x^2 + xy - y^3 + y^2\)**

**Bước 1: Nhóm các hạng tử**

Ta nhóm các hạng tử theo cách thuận tiện:

\[
x^3 + x^2 + xy - y^3 + y^2
\]

Nhóm các hạng tử \(x^3\) và \(x^2\), cũng như \(xy\) và \(-y^3 + y^2\):

\[
(x^3 + x^2) + (xy - y^3 + y^2)
\]

**Bước 2: Phân tích từng nhóm**

- Nhóm đầu tiên:

\[
x^3 + x^2 = x^2(x + 1)
\]

- Nhóm thứ hai:

\[
xy - y^3 + y^2
\]

Để phân tích nhóm này, hãy viết lại biểu thức:

\[
xy - y^3 + y^2 = y(x - y^2 + y)
\]

Nhóm này khó phân tích trực tiếp, hãy thử thay đổi cách nhóm. Ta có thể thử thêm một bước để sắp xếp lại:

**Bước 3: Tìm các phương pháp phân tích khác**

Thực hiện phân tích trực tiếp và kiểm tra các công thức phân tích khác có thể giúp. Ở đây, ta có thể thử phân tích theo cách tiếp cận khác:

Nhóm biểu thức gốc:

\[
x^3 + x^2 + xy - y^3 + y^2
\]

Sắp xếp lại và nhóm:

\[
(x^3 - y^3) + (x^2 + y^2 + xy)
\]

**Sử dụng công thức phân tích cho \(x^3 - y^3\):**

\[
x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)
\]

Thay vào biểu thức gốc:

\[
(x - y)(x^2 + xy + y^2) + (x^2 + y^2 + xy)
\]

\[
= (x - y)(x^2 + xy + y^2) + (x^2 + xy + y^2)
\]

**Kết quả phân tích:**

\[
= (x - y + 1)(x^2 + xy + y^2)
\]

### **b) Phân tích biểu thức \(16x^4 - 8x^2 - y^2 + 1\)**

**Bước 1: Nhóm các hạng tử**

Nhóm các hạng tử như sau:

\[
16x^4 - 8x^2 - y^2 + 1
\]

**Bước 2: Phân tích thành một dạng dễ hơn**

Ta có thể nhóm thành các nhóm sau:

\[
16x^4 - 8x^2 - y^2 + 1 = (16x^4 - 8x^2 + 1) - (y^2)
\]

**Bước 3: Tìm dạng phân tích**

Nhận thấy biểu thức có thể biến thành dạng khác. Thực hiện một số thay đổi:

Viết lại dưới dạng các hạng tử và kiểm tra:

\[
16x^4 - 8x^2 + 1 - y^2
\]

Biểu thức \(16x^4 - 8x^2 + 1\) có thể được phân tích bằng cách sử dụng công thức:

\[
16x^4 - 8x^2 + 1 = (4x^2 - 1)^2
\]

Như vậy, ta có:

\[
16x^4 - 8x^2 + 1 - y^2 = (4x^2 - 1)^2 - y^2
\]

**Bước 4: Sử dụng công thức hiệu hai bình phương**

Sử dụng công thức phân tích hiệu hai bình phương:

\[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]

Với \(a = 4x^2 - 1\) và \(b = y\):

\[
(4x^2 - 1)^2 - y^2 = (4x^2 - 1 - y)(4x^2 - 1 + y)
\]

**Kết quả phân tích:**

\[
16x^4 - 8x^2 - y^2 + 1 = (4x^2 - 1 - y)(4x^2 - 1 + y)
\]

### **Tóm tắt**

- **Biểu thức a:**

\[
x^3 + x^2 + xy - y^3 + y^2 = (x - y + 1)(x^2 + xy + y^2)
\]

- **Biểu thức b:**

\[
16x^4 - 8x^2 - y^2 + 1 = (4x^2 - 1 - y)(4x^2 - 1 + y)
\]

Để phân tích thành nhân tử các biểu thức đại số, ta sẽ sử dụng các phương pháp như nhóm hạng tử, công thức đa thức, hoặc các phương pháp khác. Dưới đây là cách phân tích từng biểu thức:

### **a) Phân tích biểu thức x3+x2+xy−y3+y2𝑥3+𝑥2+𝑥𝑦−𝑦3+𝑦2**

**Bước 1: Nhóm các hạng tử**

Ta nhóm các hạng tử theo cách thuận tiện:

x3+x2+xy−y3+y2𝑥3+𝑥2+𝑥𝑦−𝑦3+𝑦2

Nhóm các hạng tử x3𝑥3 và x2𝑥2, cũng như xy𝑥𝑦 và −y3+y2−𝑦3+𝑦2:

(x3+x2)+(xy−y3+y2)(𝑥3+𝑥2)+(𝑥𝑦−𝑦3+𝑦2)

**Bước 2: Phân tích từng nhóm**

- Nhóm đầu tiên:

x3+x2=x2(x+1)𝑥3+𝑥2=𝑥2(𝑥+1)

- Nhóm thứ hai:

xy−y3+y2𝑥𝑦−𝑦3+𝑦2

Để phân tích nhóm này, hãy viết lại biểu thức:

xy−y3+y2=y(x−y2+y)𝑥𝑦−𝑦3+𝑦2=𝑦(𝑥−𝑦2+𝑦)

Nhóm này khó phân tích trực tiếp, hãy thử thay đổi cách nhóm. Ta có thể thử thêm một bước để sắp xếp lại:

**Bước 3: Tìm các phương pháp phân tích khác**

Thực hiện phân tích trực tiếp và kiểm tra các công thức phân tích khác có thể giúp. Ở đây, ta có thể thử phân tích theo cách tiếp cận khác:

Nhóm biểu thức gốc:

x3+x2+xy−y3+y2𝑥3+𝑥2+𝑥𝑦−𝑦3+𝑦2

Sắp xếp lại và nhóm:

(x3−y3)+(x2+y2+xy)(𝑥3−𝑦3)+(𝑥2+𝑦2+𝑥𝑦)

**Sử dụng công thức phân tích cho x3−y3𝑥3−𝑦3:**

x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)𝑥3−𝑦3=(𝑥−𝑦)(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2)

Thay vào biểu thức gốc:

(x−y)(x2+xy+y2)+(x2+y2+xy)(𝑥−𝑦)(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2)+(𝑥2+𝑦2+𝑥𝑦)

=(x−y)(x2+xy+y2)+(x2+xy+y2)=(𝑥−𝑦)(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2)+(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2)

**Kết quả phân tích:**

=(x−y+1)(x2+xy+y2)=(𝑥−𝑦+1)(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2)

### **b) Phân tích biểu thức 16x4−8x2−y2+116𝑥4−8𝑥2−𝑦2+1**

**Bước 1: Nhóm các hạng tử**

Nhóm các hạng tử như sau:

16x4−8x2−y2+116𝑥4−8𝑥2−𝑦2+1

**Bước 2: Phân tích thành một dạng dễ hơn**

Ta có thể nhóm thành các nhóm sau:

16x4−8x2−y2+1=(16x4−8x2+1)−(y2)16𝑥4−8𝑥2−𝑦2+1=(16𝑥4−8𝑥2+1)−(𝑦2)

**Bước 3: Tìm dạng phân tích**

Nhận thấy biểu thức có thể biến thành dạng khác. Thực hiện một số thay đổi:

Viết lại dưới dạng các hạng tử và kiểm tra:

16x4−8x2+1−y216𝑥4−8𝑥2+1−𝑦2

Biểu thức 16x4−8x2+116𝑥4−8𝑥2+1 có thể được phân tích bằng cách sử dụng công thức:

16x4−8x2+1=(4x2−1)216𝑥4−8𝑥2+1=(4𝑥2−1)2

Như vậy, ta có:

16x4−8x2+1−y2=(4x2−1)2−y216𝑥4−8𝑥2+1−𝑦2=(4𝑥2−1)2−𝑦2

**Bước 4: Sử dụng công thức hiệu hai bình phương**

Sử dụng công thức phân tích hiệu hai bình phương:

a2−b2=(a−b)(a+b)𝑎2−𝑏2=(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏)

Với a=4x2−1𝑎=4𝑥2−1 và b=y𝑏=𝑦:

(4x2−1)2−y2=(4x2−1−y)(4x2−1+y)(4𝑥2−1)2−𝑦2=(4𝑥2−1−𝑦)(4𝑥2−1+𝑦)

**Kết quả phân tích:**

16x4−8x2−y2+1=(4x2−1−y)(4x2−1+y)16𝑥4−8𝑥2−𝑦2+1=(4𝑥2−1−𝑦)(4𝑥2−1+𝑦)

### **Tóm tắt**

- **Biểu thức a:**

x3+x2+xy−y3+y2=(x−y+1)(x2+xy+y2)𝑥3+𝑥2+𝑥𝑦−𝑦3+𝑦2=(𝑥−𝑦+1)(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2)

- **Biểu thức b:**

16x4−8x2−y2+1=(4x2−1−y)(4x2−1+y)16𝑥4−8𝑥2−𝑦2+1=(4𝑥2−1−𝑦)(4𝑥2−1+𝑦)