Để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 30 \), ta cần tính đạo hàm của hàm số này và xét dấu của nó.

1. **Tính đạo hàm:**

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 30) \]

Áp dụng quy tắc đạo hàm:

\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]

2. **Tìm các nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \):**

\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \]

Chia cả hai vế cho 3:

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này:

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \]

\[ x = 3 \text{ hoặc } x = 1 \]

3. **Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định bởi các nghiệm vừa tìm:**

Ta xét dấu của \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \) trên các khoảng: \( (-\infty, 1) \), \( (1, 3) \), và \( (3, +\infty) \).

- Với \( x \in (-\infty, 1) \):
Chọn \( x = 0 \) để kiểm tra:
\[ f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0 \]
Vậy \( f'(x) > 0 \), hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, 1) \).

- Với \( x \in (1, 3) \):
Chọn \( x = 2 \) để kiểm tra:
\[ f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 3(4) - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 \]
Vậy \( f'(x) < 0 \), hàm số nghịch biến trên khoảng \( (1, 3) \).

- Với \( x \in (3, +\infty) \):
Chọn \( x = 4 \) để kiểm tra:
\[ f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 3(16) - 48 + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 \]
Vậy \( f'(x) > 0 \), hàm số đồng biến trên khoảng \( (3, +\infty) \).

**Kết luận:** Hàm số \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 30 \) có các khoảng đơn điệu như sau:
- Đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (3, +\infty) \).
- Nghịch biến trên khoảng \( (1, 3) \).

Để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số f(x)=x3−6x2+9x+30𝑓(𝑥)=𝑥3−6𝑥2+9𝑥+30, ta cần tính đạo hàm của hàm số này và xét dấu của nó.

1. **Tính đạo hàm:**

f′(x)=ddx(x3−6x2+9x+30)𝑓′(𝑥)=𝑑𝑑𝑥(𝑥3−6𝑥2+9𝑥+30)

Áp dụng quy tắc đạo hàm:

f′(x)=3x2−12x+9𝑓′(𝑥)=3𝑥2−12𝑥+9

2. **Tìm các nghiệm của phương trình f′(x)=0𝑓′(𝑥)=0:**

3x2−12x+9=03𝑥2−12𝑥+9=0

Chia cả hai vế cho 3:

x2−4x+3=0𝑥2−4𝑥+3=0

Giải phương trình bậc hai này:

x=4±√16−122=4±22𝑥=4±16−122=4±22

x=3 hoặc x=1𝑥=3 hoặc 𝑥=1

3. **Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định bởi các nghiệm vừa tìm:**

Ta xét dấu của f′(x)=3x2−12x+9𝑓′(𝑥)=3𝑥2−12𝑥+9 trên các khoảng: (−∞,1)(−∞,1), (1,3)(1,3), và (3,+∞)(3,+∞).

- Với x∈(−∞,1)𝑥∈(−∞,1):
Chọn x=0𝑥=0 để kiểm tra:
f′(0)=3(0)2−12(0)+9=9>0𝑓′(0)=3(0)2−12(0)+9=9>0
Vậy f′(x)>0𝑓′(𝑥)>0, hàm số đồng biến trên khoảng (−∞,1)(−∞,1).

- Với x∈(1,3)𝑥∈(1,3):
Chọn x=2𝑥=2 để kiểm tra:
f′(2)=3(2)2−12(2)+9=3(4)−24+9=12−24+9=−3<0𝑓′(2)=3(2)2−12(2)+9=3(4)−24+9=12−24+9=−3<0
Vậy f′(x)<0𝑓′(𝑥)<0, hàm số nghịch biến trên khoảng (1,3)(1,3).

- Với x∈(3,+∞)𝑥∈(3,+∞):
Chọn x=4𝑥=4 để kiểm tra:
f′(4)=3(4)2−12(4)+9=3(16)−48+9=48−48+9=9>0𝑓′(4)=3(4)2−12(4)+9=3(16)−48+9=48−48+9=9>0
Vậy f′(x)>0𝑓′(𝑥)>0, hàm số đồng biến trên khoảng (3,+∞)(3,+∞).

**Kết luận:** Hàm số f(x)=x3−6x2+9x+30𝑓(𝑥)=𝑥3−6𝑥2+9𝑥+30 có các khoảng đơn điệu như sau:
- Đồng biến trên các khoảng (−∞,1)(−∞,1) và (3,+∞)(3,+∞).
- Nghịch biến trên khoảng (1,3)(1,3).