Để chứng minh đẳng thức \( \sin(a+b)\sin(a-b) = \sin^2a - \sin^2b = \cos^2b - \cos^2a \), ta sẽ làm từng bước như sau:

### Bước 1: Chứng minh \( \sin(a+b)\sin(a-b) = \sin^2a - \sin^2b \)

Bằng cách sử dụng công thức định lý đảo sinh:
\[ \sin(a+b)\sin(a-b) = \frac{1}{2} [\cos((a+b) - (a-b)) - \cos((a+b) + (a-b))] \]
\[ = \frac{1}{2} [\cos(2b) - \cos(2a)] \]

Sử dụng công thức biến đổi của cosin:
\[ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \]

Do đó:
\[ \cos(2b) - \cos(2a) = [1 - 2\sin^2(b)] - [1 - 2\sin^2(a)] \]
\[ = -2\sin^2(b) + 2\sin^2(a) \]
\[ = 2(\sin^2(a) - \sin^2(b)) \]

Vậy:
\[ \sin(a+b)\sin(a-b) = \frac{1}{2} \cdot 2 (\sin^2a - \sin^2b) = \sin^2a - \sin^2b \]

### Bước 2: Chứng minh \( \sin^2a - \sin^2b = \cos^2b - \cos^2a \)

Ta sử dụng công thức bổ sung:
\[ \cos^2x = 1 - \sin^2x \]

Do đó:
\[ \cos^2b - \cos^2a = (1 - \sin^2b) - (1 - \sin^2a) \]
\[ = \sin^2a - \sin^2b \]

Vậy, ta đã chứng minh được các đẳng thức:
\[ \sin(a+b)\sin(a-b) = \sin^2a - \sin^2b = \cos^2b - \cos^2a \]

Đây là bằng chứng hoàn chỉnh cho sự tương đương của các biểu thức trong đẳng thức ban đầu.