Đề bài cho ta biết \( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 0 \).

Định nghĩa của vectơ \( \overrightarrow{MA} \) là vectơ từ điểm A đến điểm M, và \( \overrightarrow{MB} \) là vectơ từ điểm B đến điểm M.

Điều kiện \( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 0 \) có nghĩa là tổng của vectơ \( \overrightarrow{MA} \) và \( \overrightarrow{MB} \) bằng vectơ không.

Ta có thể viết lại điều kiện trên thành:
\[ \overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MB} \]

Điều này chỉ xảy ra khi vectơ \( \overrightarrow{MA} \) và \( \overrightarrow{MB} \) có cùng độ dài và hướng ngược nhau. Điều này xảy ra duy nhất khi M nằm ở trung điểm của đoạn thẳng AB.

Vì vậy, ta kết luận rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 0 \).

Đây là cách chứng minh M là trung điểm của AB dựa trên điều kiện về vectơ.

Để chứng minh (M) là trung điểm của đoạn thẳng (AB), ta thực hiện hai bước sau:

Chứng minh (M) nằm giữa (A) và (B): Ta cần chứng minh rằng (M) nằm giữa (A) và (B). Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng tính chất của vectơ và phép cộng vectơ:
Ta biết: (\vec{MA} + \vec{MB} = 0).
Từ đó suy ra: (\vec{MA} = -\vec{MB}).
Vậy (M) nằm giữa (A) và (B).
Chứng minh (MA = MB): Ta cần chứng minh rằng khoảng cách từ (M) đến (A) bằng khoảng cách từ (M) đến (B):
Giả sử (MA = MB).
Ta có: (\vec{MA} + \vec{MB} = 0).
Do đó: (\vec{MA} = -\vec{MB}).
Từ đó suy ra: (M) nằm giữa (A) và (B).
Vậy (M) là trung điểm của đoạn thẳng (AB)