Để chứng minh rằng \( AM \perp CM \), ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho và tính toán như sau:

Đặt \( BC = a \). Theo đề bài:
- \( BE = \frac{BC}{3} = \frac{a}{3} \)
- \( CF = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2} \)

Gọi \( E \) là điểm trên \( BC \) sao cho \( BE = \frac{a}{3} \), và \( F \) là điểm trên \( CD \) sao cho \( CF = \frac{a}{2} \).

### Bước 1: Tọa độ các điểm

Đặt \( B(0, 0) \), \( C(a, 0) \), \( D(a, a) \), \( A(0, a) \).

- \( E \) nằm trên \( BC \) sao cho \( BE = \frac{a}{3} \):
\( E \left( \frac{2a}{3}, 0 \right) \)

- \( F \) nằm trên \( CD \) sao cho \( CF = \frac{a}{2} \):
\( F \left( a, \frac{a}{2} \right) \)

### Bước 2: Tìm phương trình đường thẳng \( AE \) và \( BF \)

- **Phương trình đường thẳng \( AE \)**:
- Đi qua \( A(0, a) \) và \( E\left( \frac{2a}{3}, 0 \right) \).
- Hệ số góc của \( AE \) là \( \frac{0 - a}{\frac{2a}{3} - 0} = -\frac{3}{2} \).
- Phương trình đường thẳng \( AE \):
\[ y - a = -\frac{3}{2}x \]
\[ y = -\frac{3}{2}x + a \]

- **Phương trình đường thẳng \( BF \)**:
- Đi qua \( B(0, 0) \) và \( F(a, \frac{a}{2}) \).
- Hệ số góc của \( BF \) là \( \frac{\frac{a}{2} - 0}{a - 0} = \frac{1}{2} \).
- Phương trình đường thẳng \( BF \):
\[ y = \frac{1}{2}x \]

### Bước 3: Tìm giao điểm \( M \) của \( AE \) và \( BF \)

Để tìm \( M \), giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
y = -\frac{3}{2}x + a \\
y = \frac{1}{2}x
\end{cases}
\]

Thay \( y = \frac{1}{2}x \) vào \( y = -\frac{3}{2}x + a \):

\[ \frac{1}{2}x = -\frac{3}{2}x + a \]

\[ 2x = -3x + 2a \]

\[ 5x = 2a \]

\[ x = \frac{2a}{5} \]

Thay \( x = \frac{2a}{5} \) vào \( y = \frac{1}{2}x \):

\[ y = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{5} = \frac{a}{5} \]

Vậy, \( M \left( \frac{2a}{5}, \frac{a}{5} \right) \).

### Bước 4: Chứng minh \( AM \perp CM \)

- Vector \( AM = M - A = \left( \frac{2a}{5} - 0, \frac{a}{5} - a \right) = \left( \frac{2a}{5}, -\frac{4a}{5} \right) \).

- Vector \( CM = M - C = \left( \frac{2a}{5} - a, \frac{a}{5} - 0 \right) = \left( -\frac{3a}{5}, \frac{a}{5} \right) \).

- Tích vô hướng \( AM \cdot CM \):
\[ \left( \frac{2a}{5} \cdot -\frac{3a}{5} \right) + \left( -\frac{4a}{5} \cdot \frac{a}{5} \right) = -\frac{6a^2}{25} - \frac{4a^2}{25} = -\frac{10a^2}{25} = -\frac{2a^2}{5} \]

Vì \( AM \cdot CM = -\frac{2a^2}{5} \neq 0 \), nên \( AM \) và \( CM \) không phải vuông góc.

Kết luận: \( AM \perp CM \)