Công thức nhân đôi là một trong những công cụ quan trọng trong lượng giác, giúp chúng ta biểu diễn các giá trị lượng giác của một góc gấp đôi một góc đã biết. Dưới đây là các công thức nhân đôi cho các hàm lượng giác cơ bản: sin, cos, và tan.

### Công thức nhân đôi của sin
\[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \]

**Giải thích:**
Bắt đầu từ các công thức cộng:

\[ \sin(a + b) = \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b) \]

Đặt \( a = b = x \):

\[ \sin(2x) = \sin(x + x) = \sin(x) \cos(x) + \cos(x) \sin(x) \]

Gộp các số hạng tương tự:

\[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \]

### Công thức nhân đôi của cos
\[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \]

Ngoài ra, bằng cách sử dụng công thức lượng giác cơ bản \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \), ta có thể viết lại công thức trên dưới hai dạng khác nhau:

\[ \cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1 \]

\[ \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) \]

**Giải thích:**
Bắt đầu từ các công thức cộng:

\[ \cos(a + b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b) \]

Đặt \( a = b = x \):

\[ \cos(2x) = \cos(x + x) = \cos(x) \cos(x) - \sin(x) \sin(x) \]

Gộp các số hạng tương tự:

\[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \]

Từ đó, sử dụng công thức lượng giác cơ bản \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \):

\[ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \]

\[ \cos(2x) = (1 - \sin^2(x)) - \sin^2(x) = 1 - 2 \sin^2(x) \]

Hoặc:

\[ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \]

\[ \cos(2x) = \cos^2(x) - (1 - \cos^2(x)) = 2 \cos^2(x) - 1 \]

### Công thức nhân đôi của tan
\[ \tan(2x) = \frac{2 \tan(x)}{1 - \tan^2(x)} \]

**Giải thích:**
Bắt đầu từ các công thức cộng:

\[ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \tan(b)} \]

Đặt \( a = b = x \):

\[ \tan(2x) = \frac{\tan(x) + \tan(x)}{1 - \tan(x) \tan(x)} \]

Gộp các số hạng tương tự:

\[ \tan(2x) = \frac{2 \tan(x)}{1 - \tan^2(x)} \]

### Tổng kết
Các công thức nhân đôi là công cụ mạnh mẽ để tính toán các giá trị lượng giác cho các góc đặc biệt. Chúng ta có:

- \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \)
- \( \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2 \cos^2(x) - 1 = 1 - 2 \sin^2(x) \)
- \( \tan(2x) = \frac{2 \tan(x)}{1 - \tan^2(x)} \)

Hiểu rõ và áp dụng đúng các công thức này giúp giải quyết nhiều bài toán lượng giác một cách dễ dàng và hiệu quả.