Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh mệnh đề \( abcd \) chia hết cho 29 khi và chỉ khi \( a + 3b + 9c + 27d \) chia hết cho 29, ta sẽ làm như sau:

1. Chứng minh \( abcd \) chia hết cho 29 => \( a + 3b + 9c + 27d \) chia hết cho 29:

Giả sử \( abcd \) chia hết cho 29, tức là \( abcd \equiv 0 \pmod{29} \).

Ta biểu diễn \( abcd \) dưới dạng tổng các chữ số theo cơ số 29:
\[ abcd = a \cdot 29^3 + b \cdot 29^2 + c \cdot 29 + d \]

Với mỗi chữ số \( a, b, c, d \) trong khoảng từ 0 đến 28.

Thay vào:
\[ abcd \equiv a \cdot 29^3 + b \cdot 29^2 + c \cdot 29 + d \equiv a + 3b + 9c + 27d \pmod{29} \]

Vậy \( a + 3b + 9c + 27d \equiv abcd \equiv 0 \pmod{29} \), do đó \( a + 3b + 9c + 27d \) chia hết cho 29.

2. Chứng minh \( a + 3b + 9c + 27d \) chia hết cho 29 => \( abcd \) chia hết cho 29:

Giả sử \( a + 3b + 9c + 27d \equiv 0 \pmod{29} \).

Ta có thể biểu diễn \( a + 3b + 9c + 27d \) dưới dạng:
\[ a + 3b + 9c + 27d = k \cdot 29 \] với \( k \) là một số nguyên.

Khi đó,
\[ abcd = a \cdot 29^3 + b \cdot 29^2 + c \cdot 29 + d = a + 3b + 9c + 27d \]

Do \( a + 3b + 9c + 27d = k \cdot 29 \), ta có:
\[ abcd = k \cdot 29 \]

Tức là \( abcd \) chia hết cho 29.

Vậy, mệnh đề được chứng minh. \( abcd \) chia hết cho 29 khi và chỉ khi \( a + 3b + 9c + 27d \) chia hết cho 29.

...Xem thêm

Answer 2