Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( x + 3\sqrt{x} \), ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm.

Đặt \( f(x) = x + 3\sqrt{x} \).

Để tìm điểm cực tiểu của hàm số này, ta cần tính đạo hàm của \( f(x) \) và giải phương trình đạo hàm bằng 0.

Đạo hàm của \( f(x) \):
\[ f'(x) = 1 + \frac{3}{2\sqrt{x}} \]

Giải phương trình \( f'(x) = 0 \):
\[ 1 + \frac{3}{2\sqrt{x}} = 0 \]

\[ \frac{3}{2\sqrt{x}} = -1 \]

\[ 2\sqrt{x} = -3 \]

Đây là một phương trình vô lý vì không thể có căn bậc hai của một số là số âm. Do đó, phương trình \( f'(x) = 0 \) không có nghiệm thực.

Ta cần kiểm tra giới hạn của hàm số khi \( x \to 0^+ \) và khi \( x \to \infty \).

- Khi \( x \to 0^+ \):
\[ \lim_{x \to 0^+} (x + 3\sqrt{x}) = 0 + 3 \cdot 0 = 0 \]

- Khi \( x \to \infty \):
\[ \lim_{x \to \infty} (x + 3\sqrt{x}) = \infty \]

Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( x + 3\sqrt{x} \) xảy ra khi \( x = 0 \).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( x + 3\sqrt{x} \) là \( \boxed{0} \).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( y = \frac{x + 3}{\sqrt{x}} \), ta thực hiện các bước sau:

1. Đưa biểu thức về dạng dễ đạo hàm:
\[
y = \frac{x + 3}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{x}}
\]

2. Đạo hàm biểu thức:
\[
y = \sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{x}}
\]
\[
y' = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) + \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{\sqrt{x}}\right)
\]
\[
y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{3}{2x\sqrt{x}}
\]
\[
y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{3}{2x\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{3}{2x^{3/2}}
\]

3. Tìm \( x \) sao cho \( y' = 0 \):
\[
\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{3}{2x^{3/2}} = 0
\]
\[
\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2x^{3/2}}
\]
\[
\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{x^{3/2}}
\]
\[
x^{3/2} = 3\sqrt{x}
\]
\[
x^{3/2} = 3x^{1/2}
\]
\[
x^{3/2} = 3x^{1/2}
\]
Chia hai vế cho \( x^{1/2} \):
\[
x = 3
\]

4. Kiểm tra giá trị nhỏ nhất tại \( x = 3 \):
Tính \( y \) tại \( x = 3 \):
\[
y(3) = \frac{3 + 3}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}
\]

5. Xét đạo hàm bậc hai để kiểm tra điểm cực trị:
\[
y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{3}{2x^{3/2}} \right)
\]
\[
y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{3}{2}x^{-3/2} \right)
\]
\[
y'' = -\frac{1}{4}x^{-3/2} + \frac{9}{4}x^{-5/2}
\]
Tại \( x = 3 \):
\[
y''(3) = -\frac{1}{4}(3)^{-3/2} + \frac{9}{4}(3)^{-5/2}
\]
\[
y''(3) = -\frac{1}{4 \cdot 3^{3/2}} + \frac{9}{4 \cdot 3^{5/2}}
\]
\[
y''(3) = -\frac{1}{4 \cdot 3^{3/2}} + \frac{9}{4 \cdot 3^{5/2}} = -\frac{1}{4 \cdot 3^{3/2}} + \frac{9}{4 \cdot 3^{3/2} \cdot 3}
\]
\[
y''(3) = -\frac{1}{4 \cdot 3^{3/2}} + \frac{9}{4 \cdot 3^{3/2} \cdot 3} = -\frac{1}{4 \cdot 3^{3/2}} + \frac{9}{4 \cdot 3^{5/2}}
\]
\[
y''(3) = -\frac{1}{4 \cdot 3^{3/2}} + \frac{3}{4 \cdot 3^{3/2}} = \frac{2}{4 \cdot 3^{3/2}} = \frac{1}{2 \cdot 3^{3/2}} > 0
\]

Vì \( y''(3) > 0 \), \( x = 3 \) là điểm cực tiểu.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( y = \frac{x + 3}{\sqrt{x}} \) là \( 2\sqrt{3} \) khi \( x = 3 \).