Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi của bạn:

### Câu 1:
Tìm \( m \) để hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 - 3mx + 4 \) đạt cực trị.

1. Tính đạo hàm bậc nhất của \( y \):
\[
y' = x^2 - 2mx - 3m
\]

2. Để hàm số có cực trị, \( y' \) phải có hai nghiệm phân biệt. Do đó, phương trình \( y' = 0 \) phải có hai nghiệm phân biệt.
\[
x^2 - 2mx - 3m = 0
\]

Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, ta xét điều kiện của discriminant (\( \Delta \)):
\[
\Delta = (2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3m) = 4m^2 + 12m
\]
\[
\Delta > 0 \Rightarrow 4m(m + 3) > 0
\]

3. Phân tích bất phương trình:
\[
m(m + 3) > 0
\]

Điều này đúng khi:
\[
m < -3 \quad \text{hoặc} \quad m > 0
\]

Vậy \( m \) phải thỏa mãn \( m < -3 \) hoặc \( m > 0 \).

### Câu 2:
Tìm \( m \) để hàm số \( y = x^3 - (m+2)x^2 + (1-m)x + 3m - 1 \) đạt cực trị tại \( x_1, x_2 \) thỏa mãn \( |x_1 - x_2| = 2 \).

1. Tính đạo hàm bậc nhất của \( y \):
\[
y' = 3x^2 - 2(m+2)x + (1-m)
\]

2. Để hàm số có cực trị tại \( x_1, x_2 \), phương trình \( y' = 0 \) phải có hai nghiệm phân biệt:
\[
3x^2 - 2(m+2)x + (1-m) = 0
\]

3. Tính discriminant (\( \Delta \)) của phương trình:
\[
\Delta = [2(m+2)]^2 - 4 \cdot 3 \cdot (1-m)
\]
\[
\Delta = 4(m^2 + 4m + 4) - 12(1-m)
\]
\[
\Delta = 4m^2 + 16m + 16 - 12 + 12m
\]
\[
\Delta = 4m^2 + 28m + 4
\]

4. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \( \Delta > 0 \). Để hai nghiệm \( x_1, x_2 \) thỏa mãn \( |x_1 - x_2| = 2 \), áp dụng công thức nghiệm:
\[
x_1 + x_2 = \frac{2(m+2)}{3}, \quad x_1 x_2 = \frac{1-m}{3}
\]
\[
x_1 - x_2 = \sqrt{\frac{\Delta}{3}} = 2
\]

5. Giải phương trình:
\[
\sqrt{\frac{4m^2 + 28m + 4}{3}} = 2
\]
\[
\frac{4m^2 + 28m + 4}{3} = 4
\]
\[
4m^2 + 28m + 4 = 12
\]
\[
4m^2 + 28m - 8 = 0
\]
\[
m^2 + 7m - 2 = 0
\]

6. Giải phương trình bậc hai:
\[
m = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2}
\]
\[
m = \frac{-7 \pm \sqrt{57}}{2}
\]

Vậy \( m = \frac{-7 + \sqrt{57}}{2} \) hoặc \( m = \frac{-7 - \sqrt{57}}{2} \).

### Câu 3:
Tìm \( m \) để hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 3mx - m - 1 \) đạt cực trị tại \( x_1, x_2 \) sao cho \( |x_1 - x_2| \leq 4 \).

1. Tính đạo hàm bậc nhất của \( y \):
\[
y' = 3x^2 - 6x + 3m
\]

2. Để hàm số có cực trị tại \( x_1, x_2 \), phương trình \( y' = 0 \) phải có hai nghiệm:
\[
3x^2 - 6x + 3m = 0
\]

3. Tính discriminant (\( \Delta \)) của phương trình:
\[
\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3m
\]
\[
\Delta = 36 - 36m
\]

4. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, \( \Delta > 0 \):
\[
36 - 36m > 0 \Rightarrow m < 1
\]

5. Điều kiện để \( |x_1 - x_2| \leq 4 \):
\[
x_1 - x_2 = \sqrt{\frac{\Delta}{3}} \leq 4
\]
\[
\sqrt{\frac{36 - 36m}{3}} \leq 4
\]
\[
\sqrt{12 - 12m} \leq 4
\]
\[
12 - 12m \leq 16
\]
\[
-12m \leq 4
\]
\[
m \geq -\frac{1}{3}
\]

6. Tổng hợp điều kiện:
\[
-\frac{1}{3} \leq m < 1
\]

Vậy \( m \) phải thỏa mãn \( -\frac{1}{3} \leq m < 1 \).

### Câu 4:
Tìm \( m \) để hàm số \( y = x^3 + 3x^2 + mx + m - 2 \) đạt cực trị tại \( x_1, x_2 \) thỏa mãn \( x_1^2 + x_2^2 - 3(x_1 + x_2) = 12 \).

1. Tính đạo hàm bậc nhất của \( y \):
\[
y' = 3x^2 + 6x + m
\]

2. Để hàm số có cực trị tại \( x_1, x_2 \), phương trình \( y' = 0 \) phải có hai nghiệm phân biệt:
\[
3x^2 + 6x + m = 0
\]

3. Tính discriminant (\( \Delta \)) của phương trình:
\[
\Delta = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot m
\]
\[
\Delta = 36 - 12m
\]

4. Điều kiện để \( y' = 0 \) có hai nghiệm phân biệt:
\[
36 - 12m > 0 \Rightarrow m < 3
\]

5. Đặt \( S = x_1 + x_2 \) và \( P = x_1 x_2 \), theo định lý Viète:
\[
S = -\frac{6}{3} = -2, \quad P = \frac{m}{3}
\]

6. Điều kiện đề bài cho:
\[
x_1^2 + x_2^2 - 3(x_1 + x_2) = 12
\]
\[
(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 - 3(x_1 + x_2) = 12
\]
\[
S^2 - 2P - 3S = 12
\]
\[
(-2)^2 - 2 \cdot \frac{m}{3} - 3 \cdot (-2) = 12
\]
\[
4 - \frac{2m}{3} + 6 = 12
\]
\[
10 - \frac{2m}{3} = 12