Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định luật bảo toàn động lượng. Vì không có lực ngoài tác động lên hệ, động lượng của viên đạn pháo trước và sau khi nổ phải được bảo toàn.

1. **Định luật bảo toàn động lượng:**
\[
\vec{p}_{\text{trước}} = \vec{p}_{\text{sau}}
\]

2. **Trước khi nổ:**
\[
\vec{p}_{\text{trước}} = m \vec{v}_{\text{trước}}
\]
Với \(\vec{v}_{\text{trước}} = 300 \, \text{m/s}\) theo phương ngang.

3. **Sau khi nổ:**
Viên đạn pháo vỡ thành hai mảnh có khối lượng bằng nhau, mỗi mảnh có khối lượng là \(\frac{m}{2}\).

Giả sử mảnh thứ nhất bay theo phương thẳng đứng xuống dưới với vận tốc \(400\sqrt{2} \, \text{m/s}\).

4. **Động lượng của mảnh thứ nhất:**
\[
\vec{p}_{1} = \frac{m}{2} \vec{v}_{1}
\]
Với \(\vec{v}_{1} = 400\sqrt{2} \, \text{m/s}\) theo phương thẳng đứng xuống dưới (hướng âm của trục y):
\[
\vec{p}_{1} = \frac{m}{2} (0, -400\sqrt{2})
\]

5. **Động lượng của mảnh thứ hai:**
Giả sử mảnh thứ hai có vận tốc \(\vec{v}_{2} = (v_{2x}, v_{2y})\), thì:
\[
\vec{p}_{2} = \frac{m}{2} \vec{v}_{2} = \frac{m}{2} (v_{2x}, v_{2y})
\]

6. **Bảo toàn động lượng theo phương ngang (trục x):**
\[
m \cdot 300 = \frac{m}{2} \cdot 0 + \frac{m}{2} \cdot v_{2x}
\]
\[
300m = \frac{m}{2} v_{2x}
\]
\[
v_{2x} = 600 \, \text{m/s}
\]

7. **Bảo toàn động lượng theo phương thẳng đứng (trục y):**
\[
0 = \frac{m}{2} \cdot (-400\sqrt{2}) + \frac{m}{2} v_{2y}
\]
\[
0 = -200m\sqrt{2} + \frac{m}{2} v_{2y}
\]
\[
200m\sqrt{2} = \frac{m}{2} v_{2y}
\]
\[
v_{2y} = 400\sqrt{2} \, \text{m/s}
\]

Do đó, vận tốc của mảnh thứ hai là \((600, 400\sqrt{2}) \, \text{m/s}\). Để tìm độ lớn của vận tốc này:
\[
v_{2} = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2} = \sqrt{600^2 + (400\sqrt{2})^2}
\]
\[
v_{2} = \sqrt{360000 + 320000} = \sqrt{680000} = 200\sqrt{17} \, \text{m/s}
\]

Vậy, mảnh thứ hai bay theo phương có vector vận tốc \( (600, 400\sqrt{2}) \, \text{m/s} \) và độ lớn vận tốc là \( 200\sqrt{17} \, \text{m/s} \).