Để tìm giá trị của \( a \) sao cho đường thẳng \( x = a \) cắt parabol \( y^2 = 16x \) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho góc \( \angle AOB = 120^\circ \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ của điểm cắt giữa đường thẳng và parabol bằng cách giải hệ phương trình giữa \( y^2 = 16x \) và \( x = a \).
2. Tính toán góc giữa hai điểm cắt và tìm giá trị \( a \) để góc \( \angle AOB \) là \( 120^\circ \).

Bước 1: Tìm tọa độ của điểm cắt giữa đường thẳng và parabol:

Đặt \( x = a \) vào phương trình của parabol \( y^2 = 16x \):
\[ y^2 = 16a \]
\[ y = \pm \sqrt{16a} = \pm 4\sqrt{a} \]

Vậy tọa độ của hai điểm cắt là \( (a, 4\sqrt{a}) \) và \( (a, -4\sqrt{a}) \).

Bước 2: Tính toán góc giữa hai điểm cắt và tìm giá trị \( a \) để góc \( \angle AOB \) là \( 120^\circ \):

Đặt \( A = (a, 4\sqrt{a}) \) và \( B = (a, -4\sqrt{a}) \).

Vì \( OA \) và \( OB \) là các tia, nên góc \( \angle AOB \) sẽ là góc giữa hai tia này.

Góc giữa hai tia có thể được tính bằng cách sử dụng công thức:
\[ \cos(\angle AOB) = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{\| \vec{OA} \| \cdot \| \vec{OB} \|} \]

Trong đó:
- \( \vec{OA} \) là vector từ điểm O đến điểm A,
- \( \vec{OB} \) là vector từ điểm O đến điểm B,
- \( \| \vec{OA} \| \) là độ dài của vector \( \vec{OA} \),
- \( \| \vec{OB} \| \) là độ dài của vector \( \vec{OB} \).

Chúng ta có:
\[ \vec{OA} = (a, 4\sqrt{a}) - (0, 0) = (a, 4\sqrt{a}) \]
\[ \vec{OB} = (a, -4\sqrt{a}) - (0, 0) = (a, -4\sqrt{a}) \]

Độ dài của vector \( \vec{OA} \) là:
\[ \| \vec{OA} \| = \sqrt{a^2 + (4\sqrt{a})^2} = \sqrt{a^2 + 16a} \]

Độ dài của vector \( \vec{OB} \) cũng là \( \| \vec{OB} \| = \sqrt{a^2 + 16a} \), vì hai vector này có cùng độ dài.

Nên:
\[ \cos(\angle AOB) = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{\| \vec{OA} \| \cdot \| \vec{OB} \|} = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{\| \vec{OA} \|^2} \]

\[ \vec{OA} \cdot \vec{OB} = (a, 4\sqrt{a}) \cdot (a, -4\sqrt{a}) = a^2 + (-4\sqrt{a}) \times (4\sqrt{a}) = a^2 - 16a \]

\[ \cos(120^\circ) = \frac{a^2 - 16a}{(a^2 + 16a)} \]

\[ \frac{-1}{2} = \frac{a^2 - 16a}{(a^2 + 16a)} \]

\[ -a^2 - 16a = 2(a^2 - 16a) \]

\[ -a^2 - 16a = 2a^2 - 32a \]

\[ 3a^2 - 16a = 0 \]

\[ a(3a - 16) = 0 \]

Vì \( a \) phải lớn hơn 0, nên \( a \neq 0 \). Từ \( 3a - 16 = 0 \) suy ra \( a = \frac{16}{3} \).

Vậy, giá trị của \( a \) để góc \( \angle AOB \) là \( 120^\circ \) là \( a = \frac{16}{3} \).