Tìm điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng d.

- Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng vectơ: $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{d} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$.

- Tìm điểm A' đối xứng với A qua d:

    - Gọi $\vec{v} = \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \end{pmatrix}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng AA'.

    - Theo định nghĩa điểm đối xứng, ta có: $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$.

    - Do A nằm trên trục hoành, ta có $y_A = 0$.

    - Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 2x_A - y_A = 0 \\ x_A \cdot 2 - 1 \cdot 0 = 0 \end{cases}$

    - Tìm được $x_A = 0$.

    - Vậy A' = (0, 0).

Nối A'B, đường thẳng này cắt d tại M.

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng A'B là $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

- Gọi M = (x, y) là điểm cần tìm.

- Phương trình đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0.

- Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d, ta được: 2x - y + 3 = 0.

- Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 2x - y + 3 = 0 \\ x = t \\ y = 2t - 3 \end{cases}$

- Tìm được tọa độ điểm M: $M = \left( \frac{9}{5}, \frac{3}{5} \right)$.

Chứng minh M là điểm duy nhất thỏa mãn MA + MB nhỏ nhất.

- Giả sử N là một điểm khác trên d sao cho NA + NB < MA + MB.

- Kéo dài AN và BN cắt nhau tại C.

- Ta có:

    - $\triangle AMC$ và $\triangle BMC$ là hai tam giác vuông đồng dạng.

    - $\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MC}$

    - $MA + MB = MC \cdot \left( \frac{MA}{MC} + \frac{MB}{MC} \right) = MC$

    - Do đó, $NA + NB = NC < MC = MA + MB$ (vì N nằm trên d).

Kết luận:

Điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB nhỏ nhất là `M = (9/5, 3/5)`.