Ta có tam giác ABC vuông tại A với các cạnh có độ dài như sau:
\[ AB = 6 \, \text{cm}, \, BC = 10 \, \text{cm}, \, AC = 8 \, \text{cm} \]

a) So sánh các góc của tam giác ABC:

Để so sánh các góc của tam giác ABC, ta sử dụng định lý cosin:
\[ \cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC} \]
\[ \cos(\angle C) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \times AC \times BC} \]
\[ \cos(\angle A) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \times AB \times AC} \]

Tính giá trị của các góc:

\[ \cos(\angle B) = \frac{6^2 + 10^2 - 8^2}{2 \times 6 \times 10} = \frac{36 + 100 - 64}{120} = \frac{72}{120} = \frac{3}{5} \]
\[ \cos(\angle C) = \frac{8^2 + 10^2 - 6^2}{2 \times 8 \times 10} = \frac{64 + 100 - 36}{160} = \frac{128}{160} = \frac{4}{5} \]
\[ \cos(\angle A) = \frac{6^2 + 8^2 - 10^2}{2 \times 6 \times 8} = \frac{36 + 64 - 100}{96} = \frac{0}{96} = 0 \]

Vậy:
- \( \angle B \) nhỏ hơn \( \angle C \) vì \( \cos(\angle B) < \cos(\angle C) \).
- \( \angle A \) là góc vuông.
- \( \angle C \) là góc lớn nhất vì \( \cos(\angle C) > \cos(\angle B) \) và \( \cos(\angle A) = 0 \).

b) Trên tia đối của tia \( AB \) lấy điểm \( D \) sao cho \( A \) là trung điểm của cạnh \( BC \). Đường thẳng \( DK \) cắt \( AC \) tại \( M \). Tính \( MC \):

Vì \( A \) là trung điểm của \( BC \), nên \( AD = DB = \frac{BC}{2} = 5 \, \text{cm} \).

Ta có \( \triangle ADC \) và \( \triangle DKC \) đồng dạng (theo góc), do đó:
\[ \frac{AD}{DK} = \frac{AC}{KC} \]
\[ \frac{5}{DK} = \frac{8}{KC} \]
\[ KC = \frac{8 \times DK}{5} \]

Nhưng ta cũng biết rằng \( DK = AC - AD = 8 - 5 = 3 \, \text{cm} \).

Thay vào phương trình trên:
\[ KC = \frac{8 \times 3}{5} = \frac{24}{5} \, \text{cm} \]

Vậy \( MC = AC - KC = 8 - \frac{24}{5} = \frac{16}{5} \, \text{cm} \).

c) Đường trung trực của \( CA \) cắt \( CD \) tại \( E \). Chứng minh \( BCE \) thẳng hàng:

Vì \( CA \) là đường trung trực của \( BD \), nên \( AE = EC \).
Và vì \( AE = EC \) và \( \angle AEC = \angle BEC \) (do là góc đối), nên theo góc \( \angle AEC \), ta có:
\[ \angle AEC = \angle BEC = 180^\circ - \angle BCE \]

Như vậy, \( BCE \) là một tứ giác có tổng hai góc liên tiếp bằng \( 180^\circ \), tức là một tứ giác nội tiếp. Do đó, \( BCE \) là tứ giác nội tiếp và \( BCE \) thẳng hàng.