Để tìm toạ độ điểm M thuộc cạnh BC sao cho diện tích tam giác MAB bằng 2 lần diện tích tam giác MAC, ta sử dụng công thức diện tích tam giác bằng một nửa tích vô hướng của hai vectơ.

Gọi \( M \) là toạ độ của điểm \( M \) thuộc cạnh \( BC \), vậy ta có \( M \) có toạ độ \( (x, 0) \).

Khi đó, diện tích của tam giác \( MAB \) là \( S_{MAB} = \frac{1}{2} \times AB \times h_{MAB} \), trong đó \( h_{MAB} \) là độ dài đường vuông góc từ \( M \) đến \( AB \).

Tương tự, diện tích của tam giác \( MAC \) là \( S_{MAC} = \frac{1}{2} \times AC \times h_{MAC} \), trong đó \( h_{MAC} \) là độ dài đường vuông góc từ \( M \) đến \( AC \).

Với \( S_{MAB} = 2 \times S_{MAC} \), ta có:

\[ \frac{1}{2} \times AB \times h_{MAB} = 2 \times \frac{1}{2} \times AC \times h_{MAC} \]

\[ AB \times h_{MAB} = 2 \times AC \times h_{MAC} \]

\[ AB \times h_{MAB} = 2 \times AC \times h_{MAC} \]

\[ AB \times (BM \sin(\alpha)) = 2 \times AC \times (CM \sin(\alpha)) \]

Với \( \sin(\alpha) \) là giá trị của góc \( CAB \).

Từ đó, ta suy ra:

\[ BM = 2 \times CM \]

Ta có:

- \( AB = \sqrt{(5 - 2)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \)
- \( AC = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \)

Vậy \( BM = 2 \times CM \) tương đương với \( BM = 2x \), \( CM = x \).

Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng tọa độ, ta có:

\[ BM = |5 - x| \] và \( CM = |-1 - x| \)

Do đó, \( BM = 2CM \) tương đương với:

\[ |5 - x| = 2 \times |-1 - x| \]

Giải phương trình này, ta tìm được giá trị của \( x \), từ đó suy ra toạ độ của điểm \( M \).