Để viết phương trình tiếp tuyến của hàm số \( y = \frac{x^3}{3} - 2x + 2 \) tại một điểm cho trước hoặc với một hệ số góc cho trước, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

### a. Tại điểm \( M_0 (1, \frac{1}{3}) \):

1. Tính đạo hàm của hàm số \( y \) theo \( x \), ký hiệu là \( y' \).
2. Tại \( x = 1 \), tính giá trị của đạo hàm \( y' \).
3. Sử dụng công thức \( y - y_1 = m(x - x_1) \) để viết phương trình của tiếp tuyến, trong đó \( (x_1, y_1) \) là điểm đã cho và \( m \) là đạo hàm tại điểm đó.

#### Bước 1: Tính đạo hàm của \( y \) theo \( x \):

\[ y = \frac{x^3}{3} - 2x + 2 \]

\[ y' = \frac{d}{dx}(\frac{x^3}{3}) - \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(2) \]
\[ y' = x^2 - 2 \]

#### Bước 2: Tính giá trị của đạo hàm tại \( x = 1 \):

\[ y'(1) = 1^2 - 2 = -1 \]

#### Bước 3: Viết phương trình của tiếp tuyến:

Sử dụng công thức tiếp tuyến:

\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

Thay vào đó \( m = -1 \) và \( (x_1, y_1) = (1, \frac{1}{3}) \):

\[ y - \frac{1}{3} = -1(x - 1) \]
\[ y - \frac{1}{3} = -x + 1 \]
\[ y = -x + 1 + \frac{1}{3} \]
\[ y = -x + \frac{4}{3} \]

Vậy, phương trình của tiếp tuyến tại điểm \( M_0 (1, \frac{1}{3}) \) là \( y = -x + \frac{4}{3} \).

### b. Tiếp tuyến có hệ số góc là 2:

Để tiếp tuyến có hệ số góc là 2, ta cần tìm điểm cụ thể trên đồ thị hàm số để xác định điểm cụ thể này, và sau đó sử dụng hệ số góc đã biết để tính toán. Đây là phương trình của tiếp tuyến có dạng:

\[ y = mx + c \]

Trong đó \( m \) là hệ số góc và \( c \) là hằng số.

Với \( m = 2 \), ta cần xác định \( c \) thông qua việc chọn một điểm trên đồ thị của hàm số. Để thuận tiện, ta có thể chọn một điểm nằm trên đồ thị gần với điểm cần tìm, ví dụ như điểm có toạ độ \( (1, \frac{1}{3}) \).

#### Sử dụng điểm \( (1, \frac{1}{3}) \):

\[ y = mx + c \]

\[ \frac{1}{3} = 2(1) + c \]

\[ \frac{1}{3} = 2 + c \]

\[ c = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{5}{3} \]

Vậy, phương trình của tiếp tuyến có hệ số góc là 2 là \( y = 2x - \frac{5}{3} \).

Để viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y=x33−2x+2𝑦=𝑥33−2𝑥+2 tại một điểm cho trước hoặc với một hệ số góc cho trước, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

### a. Tại điểm M0(1,13)𝑀0(1,13):

1. Tính đạo hàm của hàm số y𝑦 theo x𝑥, ký hiệu là y′𝑦′.
2. Tại x=1𝑥=1, tính giá trị của đạo hàm y′𝑦′.
3. Sử dụng công thức y−y1=m(x−x1)𝑦−𝑦1=𝑚(𝑥−𝑥1) để viết phương trình của tiếp tuyến, trong đó (x1,y1)(𝑥1,𝑦1) là điểm đã cho và m𝑚 là đạo hàm tại điểm đó.

#### Bước 1: Tính đạo hàm của y𝑦 theo x𝑥:

y=x33−2x+2𝑦=𝑥33−2𝑥+2

y′=ddx(x33)−ddx(2x)+ddx(2)𝑦′=𝑑𝑑𝑥(𝑥33)−𝑑𝑑𝑥(2𝑥)+𝑑𝑑𝑥(2)
y′=x2−2𝑦′=𝑥2−2

#### Bước 2: Tính giá trị của đạo hàm tại x=1𝑥=1:

y′(1)=12−2=−1𝑦′(1)=12−2=−1

#### Bước 3: Viết phương trình của tiếp tuyến:

Sử dụng công thức tiếp tuyến:

y−y1=m(x−x1)𝑦−𝑦1=𝑚(𝑥−𝑥1)

Thay vào đó m=−1𝑚=−1 và (x1,y1)=(1,13)(𝑥1,𝑦1)=(1,13):

y−13=−1(x−1)𝑦−13=−1(𝑥−1)
y−13=−x+1𝑦−13=−𝑥+1
y=−x+1+13𝑦=−𝑥+1+13
y=−x+43𝑦=−𝑥+43

Vậy, phương trình của tiếp tuyến tại điểm M0(1,13)𝑀0(1,13) là y=−x+43𝑦=−𝑥+43.

### b. Tiếp tuyến có hệ số góc là 2:

Để tiếp tuyến có hệ số góc là 2, ta cần tìm điểm cụ thể trên đồ thị hàm số để xác định điểm cụ thể này, và sau đó sử dụng hệ số góc đã biết để tính toán. Đây là phương trình của tiếp tuyến có dạng:

y=mx+c𝑦=𝑚𝑥+𝑐

Trong đó m𝑚 là hệ số góc và c𝑐 là hằng số.

Với m=2𝑚=2, ta cần xác định c𝑐 thông qua việc chọn một điểm trên đồ thị của hàm số. Để thuận tiện, ta có thể chọn một điểm nằm trên đồ thị gần với điểm cần tìm, ví dụ như điểm có toạ độ (1,13)(1,13).

#### Sử dụng điểm (1,13)(1,13):

y=mx+c𝑦=𝑚𝑥+𝑐

13=2(1)+c13=2(1)+𝑐

13=2+c13=2+𝑐

c=13−2=13−63=−53𝑐=13−2=13−63=−53

Vậy, phương trình của tiếp tuyến có hệ số góc là 2 là y=2x−53