Để tính xác suất để học sinh đạt được 9 điểm trong đề trắc nghiệm, chúng ta sẽ sử dụng xác suất điều kiện và xác suất tổng hợp.

Gọi \(X\) là số điểm mà học sinh đạt được. Theo đề bài, học sinh làm đúng 8 câu và sai 2 câu. Với mỗi câu trả lời đúng, học sinh được cộng điểm theo quy tắc đã cho.

Để đạt được 9 điểm, học sinh phải làm đúng 7 câu trong số 8 câu đúng, và phải trả lời đúng cả hai câu trả lời đúng hoặc sai. Do đó, xác suất để học sinh đạt được 9 điểm có thể tính bằng cách tính tổng xác suất của tất cả các trường hợp mà học sinh có thể đạt được điểm 9.

Đặt \(A\) là biến cố học sinh đạt 9 điểm, \(B\) là biến cố học sinh làm đúng 7 câu trong số 8 câu đúng, và \(C\) là biến cố học sinh trả lời đúng cả hai câu trả lời đúng hoặc sai.

\[P(A) = P(B \cap C) = P(B) \times P(C|B)\]

Trước tiên, chúng ta cần tính xác suất \(P(B)\), tức là xác suất để học sinh làm đúng 7 câu trong số 8 câu đúng. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng công thức xác suất nhị thức:

\[P(B) = \binom{8}{7} \times p^7 \times (1-p)^{8-7}\]

Với \(p\) là xác suất để học sinh làm đúng một câu trong số 8 câu đúng. Ở đây, \(p\) là xác suất để học sinh làm đúng một câu trong số 4 câu trả lời đúng hoặc sai, vì chúng ta không biết câu đó có đúng hay sai. Để tính \(p\), chúng ta phải chia tỷ lệ số câu đúng trong tổng số câu làm, tức là \(\frac{4}{10}\). Vậy:

\[p = \frac{4}{10}\]

\[q = 1 - p = 1 - \frac{4}{10} = \frac{6}{10}\]

\[P(B) = \binom{8}{7} \times \left(\frac{4}{10}\right)^7 \times \left(\frac{6}{10}\right)^{8-7}\]

Tiếp theo, chúng ta cần tính xác suất \(P(C|B)\), tức là xác suất để học sinh trả lời đúng cả hai câu trả lời đúng hoặc sai, trong điều kiện đã biết học sinh đã làm đúng 7 câu trong số 8 câu đúng. Vì câu trả lời đúng hoặc sai có 50% khả năng đúng, nên xác suất này là \(0.5^2\).

\[P(C|B) = 0.5^2\]

Sau khi tính được \(P(B)\) và \(P(C|B)\), chúng ta có thể tính được \(P(A)\):

\[P(A) = P(B) \times P(C|B)\]

Cuối cùng, để tính xác suất để học sinh đạt được 9 điểm, chúng ta có thể sử dụng kết quả tính toán được trên và công thức xác suất tổng hợp.

\[P(A) = \binom{8}{7} \times \left(\frac{4}{10}\right)^7 \times \left(\frac{6}{10}\right)^{8-7} \times 0.5^2\]

Bạn có thể tính giá trị xấp xỉ của \(P(A)\) từ công thức trên để có được kết quả xác suất.