Để giải các bài toán này, ta sẽ sử dụng các phương pháp cơ bản của đại số.

### 1) Tìm nghiệm của các đa thức:

a) \(3x - 18\):
- Đây là một đa thức bậc nhất. Để tìm nghiệm, giải phương trình \(3x - 18 = 0\).
- Giải phương trình: \(3x - 18 = 0\)
\(=> 3x = 18\)
\(=> x = 6\)
- Nghiệm là \(x = 6\).

b) \(2x^2 + 7 = 39\):
- Đây là một phương trình bậc hai. Để tìm nghiệm, giải phương trình \(2x^2 + 7 - 39 = 0\).
- Chuyển vế và giải phương trình: \(2x^2 - 32 = 0\)
\(=> x^2 - 16 = 0\)
\(=> (x - 4)(x + 4) = 0\)
- Vậy, nghiệm là \(x = -4\) hoặc \(x = 4\).

c) \((x - 9)(5x + 30)\):
- Đây là một đa thức bậc nhất. Để tìm nghiệm, ta giải phương trình \(x - 9 = 0\) và \(5x + 30 = 0\).
- Giải phương trình thứ nhất: \(x - 9 = 0\)
\(=> x = 9\)
- Giải phương trình thứ hai: \(5x + 30 = 0\)
\(=> 5x = -30\)
\(=> x = -6\)
- Nghiệm là \(x = 9\) hoặc \(x = -6\).

### 2) Kiểm tra xem \(x = 4\) và \(x = -3\) có phải là nghiệm của \(M(x) = 5x - 20\) không? Vì sao?

Để kiểm tra xem \(x = 4\) và \(x = -3\) có phải là nghiệm của \(M(x) = 5x - 20\) hay không, ta đơn giản là thay \(x\) bằng \(4\) và \(-3\) vào \(M(x)\) và xem kết quả. Nếu kết quả bằng \(0\), tức là \(x = 4\) hoặc \(x = -3\) là nghiệm của \(M(x)\).

- \(M(4) = 5(4) - 20 = 20 - 20 = 0\), nên \(x = 4\) là nghiệm của \(M(x)\).
- \(M(-3) = 5(-3) - 20 = -15 - 20 = -35 \neq 0\), nên \(x = -3\) không phải là nghiệm của \(M(x)\).

### 3) Tính \(P(-2)\), \(P(0)\), \(P(-\frac{1}{2})\) cho \(P(y) = 2y^3 + 9y^2 - 1\):

- \(P(-2) = 2(-2)^3 + 9(-2)^2 - 1 = 2(-8) + 9(4) - 1 = -16 + 36 - 1 = 19\).
- \(P(0) = 2(0)^3 + 9(0)^2 - 1 = 0 + 0 - 1 = -1\).
- \(P(-\frac{1}{2}) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 9\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = 2\left(-\frac{1}{8}\right) + 9\left(\frac{1}{4}\right) - 1 = -\frac{1}{4} + \frac{9}{4} - 1 = \frac{7}{4}\).

### 4) Tìm \(a\) sao cho \(P(x)\) chia hết cho \(Q(x)\) biết: \(P(x) = x^4 + x^2 + a\) và \(Q(x) = x^2 - x + 1\):

Để \(P(x)\) chia hết cho \(Q(x)\), ta cần \(x^4 + x^2 + a\) chia hết cho \(x^2 - x + 1\). Ta sẽ sử dụng định lý chia dư của đa thức để giải bài toán này.

Chia \(x^4 + x^2 + a\) cho \(x^2 - x + 1\) ta có phép chia:
\[x^4 + x^2 + a = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + b) + (ax + (a - b))\].

Để \(P(x)\) chia hết cho \(Q(x)\), thì dư phải bằng 0, tức là \(ax + (a - b) = 0\). Vì \(x\) là bất kỳ, nên hệ số của \(x\) và số tự do trong dư phải bằng 0.

\[a = b\], và từ đó ta suy ra \(a = 1\).

### 5) Tìm hệ số \(a\) của đa thức \(M(x) = ax^2 + 5x - 2\) biết rằng đa thức này có một nghiệm là \(-2\):

Nếu đa thức \(M(x)\) có nghiệm là \(-2\), thì \(M(-2) = 0\).

\[M(-2) = a(-2)^2 + 5(-2) - 2 = 0\]
\[=> 4a - 10 - 2 = 0\]
\[=> 4a - 12 = 0\]
\[=> 4a = 12\]
\[=> a = 3\].

Vậy, hệ số \(a\) là \(3\).