a. Để tính thể tích của khối chóp, chúng ta cần biết diện tích của mặt đáy và chiều cao của khối chóp. Trong trường hợp này, hình chóp tam giác đều, nên diện tích của mặt đáy có thể được tính bằng công thức \(S_{\text{đáy}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\) (với \(a\) là độ dài cạnh của tam giác đều).

Chiều cao của khối chóp là \(h = SC\).

Với mặt bên tạo với mặt đáy một góc \(30^\circ\), ta có thể sử dụng hình vẽ để tính \(h\). Trong tam giác vuông \(ASC\), ta có:
\[\tan 30^\circ = \frac{SC}{AC}\]
\[SC = AC \cdot \tan 30^\circ\]

Tuy nhiên, ta cần tính \(AC\), đây chính là độ dài cạnh của tam giác đều, đã cho là \(a\).

Vậy \(SC = a \cdot \tan 30^\circ\).

Sau đó, thể tích của khối chóp là:
\[V = \frac{1}{3}S_{\text{đáy}} \times h\]
\[V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times a \cdot \tan 30^\circ\]
\[V = \frac{\sqrt{3}}{12}a^3 \times \tan 30^\circ\]
\[V = \frac{\sqrt{3}}{12}a^3 \times \frac{1}{\sqrt{3}}\]
\[V = \frac{a^3}{12}\]

b. Tương tự, để tính thể tích của khối chóp, chúng ta cũng cần biết diện tích của mặt đáy và chiều cao của khối chóp.

Diện tích của mặt đáy là \(S_{\text{đáy}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\).

Chiều cao của khối chóp là \(h = SC\).

Với góc \(45^\circ\) giữa cạnh \(SA\) và \(AB\), ta có thể sử dụng các quan hệ góc trong tam giác vuông \(SAB\) để tính \(SC\). Ta biết:
\[\tan 45^\circ = \frac{SC}{AB}\]
\[SC = AB \cdot \tan 45^\circ\]

Nhưng \(AB = a\), do đó:
\[SC = a \cdot \tan 45^\circ = a\]

Sau đó, thể tích của khối chóp là:
\[V = \frac{1}{3}S_{\text{đáy}} \times h\]
\[V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times a\]
\[V = \frac{\sqrt{3}}{12}a^3\]

Vậy thể tích của khối chóp trong cả hai trường hợp là \(\frac{a^3}{12}\).