a) Phương trình chính tắc của elip có dạng:
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
Trong đó \(a\) và \(b\) là độ dài các bán trục. Với elip này, \(a = 3\) và \(b = 5\), vậy phương trình chính tắc của elip là:
\[
\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1
\]

b) Để chứng minh rằng tổng khoảng cách từ mọi vị trí trên mép hồ đến M và N là không đổi, ta cần chứng minh rằng tổng khoảng cách này là hằng số.

Từ tính chất của elip, ta biết rằng tổng khoảng cách từ mọi điểm trên mép elip đến hai tiêu điểm M và N là không đổi. Điều này có thể được chứng minh bằng tính chất hình học của elip.

c) Người đó đứng ở vị trí P cách O một khoảng bằng 6m. Để xác định liệu người đó đứng trong hồ hay ngoài hồ, chúng ta cần so sánh khoảng cách từ P đến mép elip với độ dài của bán trục lớn.

Nếu khoảng cách từ P đến mép elip lớn hơn bán trục lớn, tức là lớn hơn 5m, thì người đó đứng ngoài hồ. Ngược lại, nếu khoảng cách này nhỏ hơn hoặc bằng 5m, thì người đó đứng trong hồ.

d) Để tính vị trí của C cách trục nhỏ một khoảng bằng bao nhiêu mét, chúng ta cần tìm khoảng cách từ C đến trục nhỏ. Để làm điều này, trước hết ta cần xác định tọa độ của C.