Để giải phương trình bất phương trình \( \log_4(3x+1) + \log_4 x \geq 1 \), ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit như sau:

1. \( \log_a (b) + \log_a (c) = \log_a (b \cdot c) \)
2. \( \log_a (b) \geq 1 \) khi và chỉ khi \( b \geq a \)

Vậy, ta có thể viết lại bất phương trình ban đầu thành:
\[ \log_4 (3x^2 + x) \geq 1 \]

Để giải phương trình này, ta chuyển nó về dạng bình thường trước, sau đó giải theo phương pháp thông thường:

\[ 3x^2 + x \geq 4 \]

Ta đặt \( f(x) = 3x^2 + x - 4 \), vậy \( f(x) \geq 0 \).

Để tìm điểm cắt của đồ thị của \( f(x) \) với trục hoành, ta giải phương trình \( f(x) = 0 \):

\[ 3x^2 + x - 4 = 0 \]

Sử dụng công thức giải phương trình bậc 2, ta có:

\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \]

\[ x = \frac{{-1 \pm \sqrt{{1 + 48}}}}{{6}} \]

\[ x = \frac{{-1 \pm \sqrt{{49}}}}{{6}} \]

\[ x = \frac{{-1 \pm 7}}{{6}} \]

Vậy, \( x_1 = 1 \) hoặc \( x_2 = -\frac{4}{3} \).

Nhưng ta chỉ quan tâm đến giá trị \( x \) dương, do đó \( x = 1 \).

Tóm lại, nghiệm của bất phương trình là \( x \geq 1 \).