Để chứng minh rằng \( x^2 - y^2 + 2x + 6y - 3 = 0 \) không phải là phương trình của một đường tròn, ta cần kiểm tra xem phương trình có thể được biểu diễn dưới dạng chuẩn của một đường tròn hay không. Phương trình chuẩn của một đường tròn trong hệ tọa độ Descartes là:

\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]

Trong đó \((h, k)\) là tọa độ của tâm đường tròn, \(r\) là bán kính của đường tròn.

Ta sẽ cố gắng chuyển đổi phương trình \( x^2 - y^2 + 2x + 6y - 3 = 0 \) thành dạng chuẩn của đường tròn. Đầu tiên, ta nhóm các thành phần chứa \(x^2, y^2, x, y\) lại với nhau:

\[ (x^2 + 2x) - (y^2 - 6y) = 3 \]

Tiếp theo, ta hoàn thành hình vuông cho cả hai nhóm:

\[ (x^2 + 2x + 1) - (y^2 - 6y + 9) = 3 + 1 - 9 \]

\[ (x + 1)^2 - (y - 3)^2 = -5 \]

Vậy, ta không thể biểu diễn phương trình này dưới dạng chuẩn của một đường tròn, bởi vì bán kính \(r^2\) không thể âm. Do đó, phương trình \( x^2 - y^2 + 2x + 6y - 3 = 0 \) không phải là phương trình của một đường tròn.