Để chứng minh MB=MC𝑀𝐵=𝑀𝐶 và HB=HC𝐻𝐵=𝐻𝐶, ta cần sử dụng một số tính chất của đường tròn và tam giác vuông.

**Bước 1:** Ta thấy rằng tam giác OBM𝑂𝐵𝑀 và tam giác OCM𝑂𝐶𝑀 đều có cạnh OB và OC chung với nhau (là phần tiếp tuyến với đường tròn), và cạnh BM và CM đều là tiếp tuyến với đường tròn, nên chúng là các tam giác cùng đồng dạng. Do đó, ta có ∠OMB=∠OMC∠𝑂𝑀𝐵=∠𝑂𝑀𝐶 (vì là góc ở tâm nằm trên cùng một dây), và ∠MOB=∠MOC∠𝑀𝑂𝐵=∠𝑀𝑂𝐶 (vì là góc nội tiếp cùng nằm trên cùng một dây). Từ đó, ta suy ra ∠BOM=∠COM∠𝐵𝑂𝑀=∠𝐶𝑂𝑀.

**Bước 2:** Ta có ∠BOM=∠COM∠𝐵𝑂𝑀=∠𝐶𝑂𝑀, do đó tam giác OBM𝑂𝐵𝑀 và tam giác OCM𝑂𝐶𝑀 là các tam giác cân tại O. Từ tính chất của tam giác cân, ta biết rằng MB=BM𝑀𝐵=𝐵𝑀 và MC=CM𝑀𝐶=𝐶𝑀.

**Bước 3:** Gọi A𝐴 là giao điểm của MH𝑀𝐻 và đường tròn. Khi đó, ta có ∠OAM=90∘∠𝑂𝐴𝑀=90∘ (vì OM𝑂𝑀 là đường tiếp tuyến với đường tròn tại M𝑀), ∠HAM=90∘∠𝐻𝐴𝑀=90∘ (vì AM𝐴𝑀 là đường kính của đường tròn), do đó ∠OAH=∠HAM=90∘∠𝑂𝐴𝐻=∠𝐻𝐴𝑀=90∘. Từ đó, OA𝑂𝐴 song song với BC𝐵𝐶, và OH𝑂𝐻 vuông góc với BC𝐵𝐶.

**Bước 4:** Từ MB=BM𝑀𝐵=𝐵𝑀 và MH⊥BC𝑀𝐻⊥𝐵𝐶, ta có HB=HC𝐻𝐵=𝐻𝐶 (vì BH𝐵𝐻 và HC𝐻𝐶 là đường cao của tam giác MBH𝑀𝐵𝐻 và MCH𝑀𝐶𝐻).

Vậy, ta đã chứng minh MB=MC𝑀𝐵=𝑀𝐶 và HB=HC𝐻𝐵=𝐻𝐶.