I. Trắc nghiệm
1. C. [0; dương vô cực)
Giải thích: Tập xác định của hàm số \(y = 2^x\) là tập hợp các giá trị của \(x\) mà khi thay vào hàm số, ta thu được một kết quả hợp lệ. Vì \(2^x\) luôn là số dương cho mọi giá trị của \(x\), nên tập xác định là \([0; +\infty)\).

2. D. \(y = (\sqrt{2})^x\)
Giải thích: Hàm số \(y = (\sqrt{2})^x\) là hàm số nghịch biến trên \(R\) vì đây là một hàm mũ với cơ số \(\sqrt{2}\), và hàm mũ với cơ số lớn hơn \(1\) sẽ là hàm số nghịch biến.

3. B. \(y'(1) = 2\)
Giải thích: Đạo hàm của hàm số \(y = x^2\) là \(y' = 2x\). Để tính đạo hàm tại \(x = 1\), ta thay \(x = 1\) vào \(y'\), ta có \(y'(1) = 2 \times 1 = 2\).

II. Tự Luận
1. Tính đạo hàm của hàm số \(y = x^3 + x - 1\):
Đạo hàm của \(y = x^3 + x - 1\) là \(y' = 3x^2 + 1\).

2. Xác suất lấy ra viên bi màu đỏ và lần sau lấy được viên bi màu vàng:
Vì sau mỗi lần lấy ra viên bi, ta đều bỏ lại vào hộp, nên xác suất lấy ra viên bi màu đỏ và lần sau lấy được viên bi màu vàng là \( \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{56}\).

3. Hình chóp \(SABCD\) có đáy là hình vuông, \(SO\) vuông góc với mặt đáy, thể tích của hình chóp là \(\frac{1}{3}a^2h\), và \(d(A;SBC)\) là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(SBC\).

4. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \sqrt{a^2 + 8bc + 3}\) trên \(\sqrt{(a + 2c)^2 + 1}\) là \(x\sqrt{y}\), với \(x\) là giá trị lớn nhất của \(\sqrt{a^2 + 8bc + 3}\) và \(y\) là giá trị lớn nhất của \((a + 2c)^2 + 1\). Để tính \(x\) và \(y\), cần phân tích số \(a, b, c\).