Để xác định hàm số \( y = ax + y \) trong các trường hợp đã cho, chúng ta cần sử dụng thông tin về đồ thị của hàm số và các điểm mà nó đi qua. Dựa vào các điều kiện đã cho, ta có thể xác định giá trị của \( a \) trong mỗi trường hợp.

a) Đồ thị của hàm số là đường thẳng đi qua điểm \( B(-1;2) \) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.

Để xác định \( a \), ta sử dụng điểm \( B(-1;2) \) và điểm cắt trục tung với tung độ bằng 3. Gọi điểm cắt trục tung này là \( A \). Ta biết rằng \( A \) có toạ độ \( (0,3) \).

Thay các giá trị vào phương trình hàm số, ta có:

\[
\begin{cases}
2 = a(-1) + 2 \\
3 = a(0) + 3
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình trên, ta tính được \( a = -1 \).

Vậy hàm số là \( y = -x + y \).

b) Đồ thị hàm số là đường thẳng song song với đường thẳng \( y = -3x + 1 \) và cắt trục tung tại điểm có toạ độ bằng 3.

Vì đồ thị của hàm số là đường thẳng song song với \( y = -3x + 1 \), nên hệ số góc của nó cũng là -3.

Để xác định giá trị \( a \), ta chỉ cần sử dụng điều kiện rằng hàm số cắt trục tung tại điểm có toạ độ \( (0,3) \). Thay vào phương trình hàm số, ta có:

\[
\begin{cases}
3 = a(0) + 3
\end{cases}
\]

Từ đó, ta suy ra \( a = 0 \).

Vậy hàm số là \( y = 0x + y = y \).

c) Đồ thị của hàm số là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -6 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Tương tự, để xác định \( a \), ta sử dụng điểm cắt trục tung và điểm cắt trục hoành.

Thay các giá trị vào phương trình hàm số, ta có:

\[
\begin{cases}
-6 = a(0) - 6 \\
2 = a(2) + 2
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình trên, ta tính được \( a = -3 \).

Vậy hàm số là \( y = -3x + y \).