cho tam giác ABC vuông tại A, trên AC lấy điểm I, KẺ IH vuông góc BC , qua C kẻ đường vuông góc với BI tại K cmr BI.BK +CI.CA=BC bình phương, yêu cầu sử dụng kiến thức lớp 8
Quảng cáo
1 câu trả lời 41
Ta biết rằng trong tam giác vuông \(ABC\), \(BC\) là cạnh huyền, \(BI\) là đoạn phân giác của góc \(B\), và \(CI\) là đoạn phân giác của góc \(C\).
Theo định lý Phân giác trong tam giác, ta có:
\[\frac{BI}{BC} = \frac{BK}{CK}\] và \[\frac{CI}{BC} = \frac{CK}{AK}\]
Từ đó, ta có:
\[BI \cdot BK + CI \cdot CA = \frac{BI}{BC} \cdot BC \cdot BK + \frac{CI}{BC} \cdot BC \cdot CA\]
\[= BK \cdot CK + CA \cdot CK = BC \cdot CK\]
Vì \(CK\) là đường cao của tam giác \(ABC\) từ đỉnh \(C\) xuống đoạn \(AB\), nên diện tích của tam giác \(ABC\) là:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CK\]
Tuy nhiên, diện tích của tam giác \(ABC\) cũng bằng nửa tích của hai cạnh góc vuông:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC\]
Nhưng \(AB \cdot AC\) cũng chính là \(BC^2\), vì \(BC\) là cạnh huyền của tam giác vuông \(ABC\).
Vậy ta có \(BC \cdot CK = BC^2\), hoặc đơn giản hơn là \(BI \cdot BK + CI \cdot CA = BC^2\), như mong muốn.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
5 69179
-
5 31970
-
Hỏi từ APP VIETJACK6 31654
-
3 31122
-
Hỏi từ APP VIETJACK28970