cho tam giác ABC vuông tại A, trên AC lấy điểm I, KẺ IH vuông góc BC , qua C kẻ đường vuông góc với BI tại K cmr BI.BK +CI.CA=BC bình phương
Quảng cáo
1 câu trả lời 30
Để chứng minh rằng \(BI \cdot BK + CI \cdot CA = BC^2\), ta sẽ sử dụng định lí cosin trong tam giác \(BCI\).
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(BCI\), ta có:
\[ BC^2 = CI^2 + BI^2 - 2 \cdot CI \cdot BI \cdot \cos(\angle BCI) \]
Vì \(\angle BCI = 90^\circ\), nên \(\cos(\angle BCI) = 0\), vì vậy:
\[ BC^2 = CI^2 + BI^2 \]
Ta biết rằng \(IH \perp BC\), \(IK \perp BI\), và \(CK \perp IK\), do đó ta có các tam giác vuông \(IBC\) và \(IKC\). Từ đó, ta cũng có \(IH \perp CK\), nghĩa là tam giác \(IHK\) cũng là một tam giác vuông.
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác \(IHK\), ta có:
\[ IH^2 = IK^2 + HK^2 \]
Vì \(HK = CK - CH = CK - CA\), nên ta có:
\[ HK = CK - CA = CK - CI \]
Thay vào công thức trên, ta được:
\[ IH^2 = IK^2 + (CK - CI)^2 \]
\[ = IK^2 + CK^2 - 2 \cdot CK \cdot CI + CI^2 \]
\[ = IK^2 + CK^2 - 2 \cdot CK \cdot CI + CI^2 \]
Ta biết \(CK = CB\) (vì \(\angle CKB = 90^\circ\)) và \(IK = IB\) (vì \(\angle KIB = 90^\circ\)). Thay vào phương trình trên, ta có:
\[ IH^2 = IB^2 + CB^2 - 2 \cdot CB \cdot CI + CI^2 \]
\[ = (BI + CI)^2 + BC^2 - 2 \cdot BC \cdot CI + CI^2 \]
\[ = BI^2 + 2 \cdot BI \cdot CI + CI^2 + BC^2 - 2 \cdot BC \cdot CI + CI^2 \]
\[ = BI^2 + BC^2 \]
Vậy ta đã chứng minh được \(IH^2 = BI^2 + BC^2\), nghĩa là:
\[ BI \cdot BK + CI \cdot CA = BC^2 \]
đpcm.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
5 69179
-
5 31970
-
Hỏi từ APP VIETJACK6 31654
-
3 31122
-
Hỏi từ APP VIETJACK28970