Đặt \[y = \frac{{3\sin \,2x + \cos \,2x}}{{\sin \,2x + 4\cos {\,^2}\,x + 1}} = \frac{{3\sin \,2x + \cos \,2x}}{{\sin \,2x + 2\left( {1 + \cos \,2x} \right) + 1}}\]

\[ = \frac{{3\sin \,2x + \cos \,2x}}{{\sin \,2x + 2\cos \,2x + 3}}\]

⇔y.sin 2x + 2y.cos 2x + 3y = 3.sin 2x + cos 2x

Û (y − 3).sin 2x + (2y − 1).cos 2x = −3y (*)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

[(y − 3).sin 2x + (2y − 1).cos 2x]² ≤ (y − 3)² + (2y − 1)²

Kết hợp với (*), ta được:

9y² £ (y – 3)² + (2y – 1)²  

\[ \Leftrightarrow y \le \frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\]

\[ \Leftrightarrow \max y = \frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\]

Để bất phương trình\[\frac{{3\sin \,2x + \cos \,2x}}{{\sin \,2x + 4\cos {\,^2}\,x + 1}} \le m + 1\] đúng với mọi \[x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow m + 1 \ge \max y = \frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\]

\[ \Leftrightarrow m \ge = \frac{{\sqrt {65} - 9}}{4}\]

Vậy \[m \ge = \frac{{\sqrt {65} - 9}}{4}\] thỏa mãn đề bài.