a) Ta có \(AD = AC\) (theo điều kiện đề bài). Vì \(\angle BAD = \angle BAC\) (góc nội tiếp trong cùng), và \(AB = AB\) (cạnh chung), nên theo trường hợp Góc - Cạnh - Góc (GCG), ta có \( \triangle ABD \cong \triangle ABC\).

b) Ta biết \(M\) là trung điểm của \(BD\) và \(N\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(MN\) song song với \(DC\) (vì \(MN\) và \(DC\) là đường chính của tứ giác \(BCDM\) và \(DCBM\) và chia tứ giác đó thành hai phần bằng nhau).

Ta có \(AM = \frac{1}{2} \times AD = \frac{1}{2} \times AC = AN\), vì \(AD = AC\) và \(M\) là trung điểm của \(BD\), \(N\) là trung điểm của \(BC\). Vậy \(AM = AN\).

Vì \(AM = AN\) và \(MN\) song song với \(DC\) nên \(\triangle AMN\) cân.

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(DN\) và \(AB\). Ta cần chứng minh \(C, I, M\) thẳng hàng.

Vì \(AD = AC\) và \(DI\) là đoạn phân giác của góc \(\angle ADC\), theo định lí phân giác trong tam giác, ta có \(\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CD}\).

Vậy \(AB \cdot CD = AC \cdot BD\). Nhưng \(AC = AD\) nên \(AB \cdot CD = AD \cdot BD\), từ đó suy ra \(ABD\) đồng dạng với \(ACD\).

Do đó, \(\angle BDI = \angle CDI\), từ đó \(DI\) là đoạn phân giác của \(\angle BDC\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(BD\), nên \(DM = MB\), và \(CI\) là đoạn phân giác của góc \(\angle BCD\), nên ta có:

\[\frac{CI}{IB} = \frac{CD}{DB} = \frac{AC}{AB}.\]

Nhưng vì \(AC = AD\) nên \(\frac{CI}{IB} = 1\), nghĩa là \(CI = IB\).

Vậy, \(C, I, M\) thẳng hàng.

a) Ta có AD=AC (theo điều kiện đề bài). Vì ∠BAD=∠BAC (góc nội tiếp trong cùng), và AB=AB (cạnh chung), nên theo trường hợp Góc - Cạnh - Góc (GCG), ta có △ABD≅△ABC.

b) Ta biết M là trung điểm của BD và N là trung điểm của BC, do đó MN song song với DC (vì MN và DC là đường chính của tứ giác BCDM và DCBM và chia tứ giác đó thành hai phần bằng nhau).

Ta có AM=12×AD=12×AC=AN, vì AD=AC và M là trung điểm của BD, N là trung điểm của BC. Vậy AM=AN.

Vì AM=AN và MN song song với DC nên △AMN cân.

c) Gọi I là giao điểm của DN và AB. Ta cần chứng minh C,I,M thẳng hàng.

Vì AD=AC và DI là đoạn phân giác của góc ∠ADC, theo định lí phân giác trong tam giác, ta có ABBD=ACCD.

Vậy AB⋅CD=AC⋅BD. Nhưng AC=AD nên AB⋅CD=AD⋅BD, từ đó suy ra ABD đồng dạng với ACD.

Do đó, ∠BDI=∠CDI, từ đó DI là đoạn phân giác của ∠BDC.

Vì M là trung điểm của BD, nên DM=MB, và CI là đoạn phân giác của góc ∠BCD, nên ta có:

CIIB=CDDB=ACAB.

Nhưng vì AC=AD nên CIIB=1, nghĩa là CI=IB.

Vậy, C,I,M thẳng hàng.