Đường thẳng \( d: 3x + 4y - 12 = 0 \) có phương trình chính tắc là \( \frac{x}{4} + \frac{y}{3} - 3 = 0 \).

Đặt \( y = m(x - h) + k \) là phương trình tiêu biểu của đường thẳng, ta có:
\[ m = -\frac{A}{B} = -\frac{4}{3} \]
\[ h = \frac{B}{A} \cdot \left( -\frac{D}{A} \right) = \frac{3}{4} \cdot 3 = \frac{9}{4} \]
\[ k = -\frac{C}{B} = -\frac{-12}{4} = 3 \]

Vậy phương trình của đường thẳng \( d \) trong dạng tiêu biểu là \( y = -\frac{4}{3}(x - \frac{9}{4}) + 3 \).

Giao điểm của đường thẳng \( d \) với elip \( E \) là điểm thỏa mãn cả hai phương trình:
\[ \begin{cases} \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \\ y = -\frac{4}{3}(x - \frac{9}{4}) + 3 \end{cases} \]

Thay \( y \) từ phương trình đường thẳng vào phương trình của elip, ta được:
\[ \frac{x^2}{16} + \frac{(-\frac{4}{3}(x - \frac{9}{4}) + 3)^2}{9} = 1 \]

Giải phương trình trên để tìm \( x \), sau đó thay vào phương trình đường thẳng để tính \( y \).

Khi đã biết \( x \) và \( y \), ta tính độ dài đoạn AB bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng:
\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]