Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ của điểm M.
2. Tìm tọa độ của điểm P.
3. Tìm phương trình của đường thẳng NP.
4. Xác định các hệ số a, b, và c.
5. Tính T = a + b + c.

Bây giờ, hãy thực hiện từng bước:

1. Vì AM = 1/2 AB, ta có M là trung điểm của AB. Do đó, ta có \( M\left(\frac{1}{2},0\right) \).

2. Vì N là trung điểm của BC, và B(0,0), C(1,0), ta có \( N\left(\frac{1}{2},0\right) \).
Đường thẳng AC có phương trình \( y = 0 \) (vì A(0,1), C(1,0)).
Giao điểm của DM và AC là P, nên ta thay x và y của đường thẳng DM vào phương trình đường thẳng AC, suy ra \( x = -1 \).
Vậy tọa độ của P là (-1,0).

3. Đường thẳng NP có hệ số góc là \(\frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{0 - 0}}{{-1 - \frac{1}{2}}} = -2\).
Vậy phương trình của NP là \(y = -2x\).

4. So sánh với phương trình ax + by + c = 0, ta thấy a = -2, b = 1. Vì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng NP bằng \( \frac{{3\sqrt{5}}}{5} \), ta sử dụng công thức:

\[ d = \frac{{|c|}}{{\sqrt{a^2 + b^2}}} = \frac{{|c|}}{{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}}} = \frac{{|c|}}{{\sqrt{5}}} = \frac{{3\sqrt{5}}}{5} \]

Từ đó suy ra \( c = \pm 3 \).

Vì yêu cầu là \( c > 0 \), nên ta chọn \( c = 3 \).

5. T = a + b + c = -2 + 1 + 3 = 2.

Vậy kết quả là A. T = 2.