a) Để chứng minh:
1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB.
2. Khi đó, ta có AM = MB = 1/2 AB = a/2 (do M là trung điểm của AB).
3. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
4. Vì hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng là trung điểm cạnh AB nên tức là hình chiếu của O lên mặt phẳng đó cũng là M.
5. Ta có AO = MO = 1/2 AC = 1/2√2a và diện tích của tam giác AOB là 1/2 * AO * OB = 1/2 * (1/2√2a)^2 = 1/8 * 2a^2 = a^2/4.

b) Để tính thể tích:
1. Thể tích khối chóp S.ABCD là 1/3 diện tích đáy nhân với độ dài đoạn vuông góc từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy ABCD.
2. Diện tích đáy là a^2 (vì là hình vuông cạnh a).
3. Độ dài đoạn vuông góc từ S đến mặt phẳng đáy là AO (khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng theo định nghĩa).
4. Thế vào công thức thể tích chóp: V = 1/3 * diện tích đáy * độ dài đoạn vuông góc = 1/3 * a^2 * (a/2) = a^3/6.

c) Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng:
1. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng đáy ABCD.
2. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng là AH.
3. Ta có AH = AO = 1/2 AC = 1/2√2a.