Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1) Rút gọn biểu thức $P$:
$P = \frac{x}{x-1} + \frac{3}{x+1} - \frac{6x-4}{x^2-1}$

Trước tiên, ta cần phân tích các tử số và mẫu số để kiểm tra khả năng rút gọn.

$x^2 - 1$ có thể được biểu diễn dưới dạng $(x-1)(x+1)$, do đó, ta có thể rút gọn $\frac{6x-4}{x^2-1}$ thành $\frac{6x-4}{(x-1)(x+1)}$.

$P = \frac{x}{x-1} + \frac{3}{x+1} - \frac{6x-4}{(x-1)(x+1)}$

Tiếp theo, chúng ta cần tìm một phương pháp để có thể cộng các phân số này với nhau. Ta sẽ làm điều này bằng cách chuyển các phân số về cùng một mẫu số.

$P = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{6x-4}{(x-1)(x+1)}$

$P = \frac{x(x+1) + 3(x-1) - (6x-4)}{(x-1)(x+1)}$

$P = \frac{x^2 + x + 3x - 3 - 6x + 4}{(x-1)(x+1)}$

$P = \frac{x^2 - 2x + 1}{(x-1)(x+1)}$

$P = \frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)}$

$P = \frac{x-1}{x+1}$

2) Tìm $x$ để $P$ có giá trị bằng $\frac{1}{2}$:
$\frac{x-1}{x+1} = \frac{1}{2}$

$2(x-1) = x+1$

$2x - 2 = x + 1$

$2x - x = 1 + 2$

$x = 3$

Vậy, $x = 3$ là giá trị của $x$ để $P$ có giá trị bằng $\frac{1}{2}$.