Để rút gọn biểu thức này, chúng ta cần tìm mẫu số chung cho các phân số và thực hiện phép cộng và phép trừ. Trước tiên, ta cần phân tích mẫu số của các phân số:

1. \( x^2 - x + 1 \) không thể phân tích được thành các thừa số không phân tích được nữa.
2. \( x + 1 \) không thể phân tích được thành các thừa số không phân tích được nữa.
3. \( x^3 + 1 \) có thể phân tích thành \( (x+1)(x^2 - x + 1) \).

Tiếp theo, ta viết lại các phân số với mẫu số chung:

1. \( \frac{x - 3}{x^2 - x + 1} \) không thể rút gọn thêm được.
2. \( \frac{1}{x + 1} \) không thể rút gọn thêm được.
3. \( \frac{4x + 4}{x^3 + 1} = \frac{4x + 4}{(x+1)(x^2 - x + 1)} \).

Cuối cùng, ta thực hiện phép cộng và phép trừ:

\[ \frac{x - 3}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{4x + 4}{x^3 + 1} = \frac{(x - 3)(x + 1) - (x^2 - x + 1) + (4x + 4)}{(x+1)(x^2 - x + 1)} \]

\[ = \frac{x^2 - 2x - 3 - x^2 + x - 1 + 4x + 4}{(x+1)(x^2 - x + 1)} \]

\[ = \frac{3x}{(x+1)(x^2 - x + 1)} \]

Vậy biểu thức đã được rút gọn thành \( \frac{3x}{(x+1)(x^2 - x + 1)} \).