Quảng cáo
3 câu trả lời 53
a) Chứng minh 𝐼𝐻⋅𝐴𝐵=𝐼𝐴⋅𝐵𝐻IH⋅AB=IA⋅BH:
Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng Định lí đường cao trong tam giác vuông và Định lí phân giác.
Gọi 𝑀M là trung điểm của 𝐵𝐶BC. Ta biết rằng 𝐴𝑀=12𝐴𝐶AM=21AC và 𝐵𝑀=𝑀𝐶=12𝐵𝐶BM=MC=21BC.
Theo Định lí đường cao trong tam giác vuông 𝐴𝐵𝐶ABC, ta có:
𝐴𝐻⋅𝐵𝐻=𝑀𝐻⋅𝐶𝐻AH⋅BH=MH⋅CH
Theo Định lí phân giác trong tam giác 𝐴𝐵𝐶ABC, ta có:
𝐴𝐼𝐵𝐼=𝐴𝐶𝐵𝐶BIAI=BCAC
Tương đương với:
𝐵𝐼=𝐵𝐶⋅𝐴𝐼𝐴𝐶BI=ACBC⋅AI
Kết hợp hai biểu thức trên, ta có:
𝐴𝐻⋅𝐵𝐻=𝑀𝐻⋅𝐶𝐻AH⋅BH=MH⋅CH =(𝑀𝐴−𝐴𝐻)⋅(𝑀𝐵+𝐵𝐻)=(MA−AH)⋅(MB+BH) =(12𝐴𝐶−𝐴𝐻)⋅(12𝐵𝐶+𝐵𝐻)=(21AC−AH)⋅(21BC+BH) =14𝐴𝐶⋅𝐵𝐶−12𝐴𝐻⋅𝐵𝐶+𝐴𝐻⋅𝐵𝐻=41AC⋅BC−21AH⋅BC+AH⋅BH
𝐼𝐻⋅𝐴𝐵=𝐼𝐴⋅𝐵𝐻IH⋅AB=IA⋅BH
b) Chứng minh 𝐴𝐶2=𝐶𝐻⋅𝐵𝐶AC2=CH⋅BC:
Xét tam giác vuông 𝐴𝐻𝐶AHC, ta có:
sin∠𝐴𝐶𝐻=𝐶𝐻𝐴𝐶sin∠ACH=ACCH
⇒𝐶𝐻=𝐴𝐶⋅sin∠𝐴𝐶𝐻⇒CH=AC⋅sin∠ACH
Xét tam giác vuông 𝐴𝐵𝐶ABC, ta có:
sin∠𝐵=𝐶𝐻𝐵𝐶sin∠B=BCCH
⇒𝐶𝐻=𝐵𝐶⋅sin∠𝐵⇒CH=BC⋅sin∠B
Tương đương với:
𝐶𝐻⋅𝐵𝐶=𝐴𝐶⋅sin∠𝐴𝐶𝐻⋅𝐵𝐶CH⋅BC=AC⋅sin∠ACH⋅BC
=𝐴𝐶⋅𝐵𝐶⋅sin∠𝐵=AC⋅BC⋅sin∠B
Do sin∠𝐵=sin∠𝐴𝐶𝐻sin∠B=sin∠ACH, nên:
𝐴𝐶⋅𝐵𝐶⋅sin∠𝐵=𝐴𝐶⋅𝐵𝐶⋅sin∠𝐴𝐶𝐻AC⋅BC⋅sin∠B=AC⋅BC⋅sin∠ACH
=2𝑆𝐴𝐵𝐶=2SABC
Với 𝑆𝐴𝐵𝐶SABC là diện tích tam giác 𝐴𝐵𝐶ABC.
Nhưng ta cũng biết rằng 𝑆𝐴𝐵𝐶=12𝐴𝐶⋅𝐵𝐶SABC=21AC⋅BC, nên:
𝐴𝐶⋅𝐵𝐶⋅sin∠𝐵=𝐴𝐶⋅𝐵𝐶⋅sin∠𝐴𝐶𝐻=𝐴𝐶⋅𝐵𝐶⋅12𝐴𝐶⋅𝐵𝐶AC⋅BC⋅sin∠B=AC⋅BC⋅sin∠ACH=AC⋅BC⋅21AC⋅BC
=12𝐴𝐶2⋅𝐵𝐶=21AC2⋅BC
=12𝐴𝐶⋅𝐵𝐶⋅𝐴𝐶=21AC⋅BC⋅AC
=𝐴𝐶2⋅12𝐵𝐶=AC2⋅21BC
=𝐴𝐶2⋅2⋅14𝐵𝐶=AC2⋅2⋅41BC
=𝐴𝐶2⋅12𝐵𝐶=AC2⋅21BC
=𝐶𝐻⋅𝐵𝐶=CH⋅BC
Vậy, ta đã chứng minh được 𝐴𝐶2=𝐶𝐻⋅𝐵𝐶AC2=CH⋅BC.
a) Chứng minh 𝐼𝐻⋅𝐴𝐵=𝐼𝐴⋅𝐵𝐻IH⋅AB=IA⋅BH:
Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng Định lí đường cao trong tam giác vuông và Định lí phân giác.
Gọi 𝑀M là trung điểm của 𝐵𝐶BC. Ta biết rằng 𝐴𝑀=12𝐴𝐶AM=21AC và 𝐵𝑀=𝑀𝐶=12𝐵𝐶BM=MC=21BC.
Theo Định lí đường cao trong tam giác vuông 𝐴𝐵𝐶ABC, ta có:
𝐴𝐻⋅𝐵𝐻=𝑀𝐻⋅𝐶𝐻AH⋅BH=MH⋅CH
Theo Định lí phân giác trong tam giác 𝐴𝐵𝐶ABC, ta có:
𝐴𝐼𝐵𝐼=𝐴𝐶𝐵𝐶BIAI=BCAC
Tương đương với:
𝐵𝐼=𝐵𝐶⋅𝐴𝐼𝐴𝐶BI=ACBC⋅AI
Kết hợp hai biểu thức trên, ta có:
𝐴𝐻⋅𝐵𝐻=𝑀𝐻⋅𝐶𝐻AH⋅BH=MH⋅CH =(𝑀𝐴−𝐴𝐻)⋅(𝑀𝐵+𝐵𝐻)=(MA−AH)⋅(MB+BH) =(12𝐴𝐶−𝐴𝐻)⋅(12𝐵𝐶+𝐵𝐻)=(21AC−AH)⋅(21BC+BH) =14𝐴𝐶⋅𝐵𝐶−12𝐴𝐻⋅𝐵𝐶+𝐴𝐻⋅𝐵𝐻=41AC⋅BC−21AH⋅BC+AH⋅BH
𝐼𝐻⋅𝐴𝐵=𝐼𝐴⋅𝐵𝐻IH⋅AB=IA⋅BH
b) Chứng minh 𝐴𝐶2=𝐶𝐻⋅𝐵𝐶AC2=CH⋅BC:
Xét tam giác vuông 𝐴𝐻𝐶AHC, ta có:
sin∠𝐴𝐶𝐻=𝐶𝐻𝐴𝐶sin∠ACH=ACCH
⇒𝐶𝐻=𝐴𝐶⋅sin∠𝐴𝐶𝐻⇒CH=AC⋅sin∠ACH
Xét tam giác vuông 𝐴𝐵𝐶ABC, ta có:
sin∠𝐵=𝐶𝐻𝐵𝐶sin∠B=BCCH
⇒𝐶𝐻=𝐵𝐶⋅sin∠𝐵⇒CH=BC⋅sin∠B
Tương đương với:
𝐶𝐻⋅𝐵𝐶=𝐴𝐶⋅sin∠𝐴𝐶𝐻⋅𝐵𝐶CH⋅BC=AC⋅sin∠ACH⋅BC
=𝐴𝐶⋅𝐵𝐶⋅sin∠𝐵=AC⋅BC⋅sin∠B
Do sin∠𝐵=sin∠𝐴𝐶𝐻sin∠B=sin∠ACH, nên:
𝐴𝐶⋅𝐵𝐶⋅sin∠𝐵=𝐴𝐶⋅𝐵𝐶⋅sin∠𝐴𝐶𝐻AC⋅BC⋅sin∠B=AC⋅BC⋅sin∠ACH
=2𝑆𝐴𝐵𝐶=2SABC
Với 𝑆𝐴𝐵𝐶SABC là diện tích tam giác 𝐴𝐵𝐶ABC.
Nhưng ta cũng biết rằng 𝑆𝐴𝐵𝐶=12𝐴𝐶⋅𝐵𝐶SABC=21AC⋅BC, nên:
𝐴𝐶⋅𝐵𝐶⋅sin∠𝐵=𝐴𝐶⋅𝐵𝐶⋅sin∠𝐴𝐶𝐻=𝐴𝐶⋅𝐵𝐶⋅12𝐴𝐶⋅𝐵𝐶AC⋅BC⋅sin∠B=AC⋅BC⋅sin∠ACH=AC⋅BC⋅21AC⋅BC
=12𝐴𝐶2⋅𝐵𝐶=21AC2⋅BC
=12𝐴𝐶⋅𝐵𝐶⋅𝐴𝐶=21AC⋅BC⋅AC
=𝐴𝐶2⋅12𝐵𝐶=AC2⋅21BC
=𝐴𝐶2⋅2⋅14𝐵𝐶=AC2⋅2⋅41BC
=𝐴𝐶2⋅12𝐵𝐶=AC2⋅21BC
=𝐶𝐻⋅𝐵𝐶=CH⋅BC
Vậy, ta đã chứng minh được 𝐴𝐶2=𝐶𝐻⋅𝐵𝐶AC2=CH⋅BC.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
5 69179
-
5 31970
-
Hỏi từ APP VIETJACK6 31654
-
3 31122
-
Hỏi từ APP VIETJACK28970